Conjunto estacionario

En matemáticas , específicamente en la teoría de conjuntos y en la teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que cruza todos los conjuntos de clubes , y es análogo a un conjunto de medidas distintas de cero en la teoría de medidas . Hay al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si uno está mirando subconjuntos de un ordinal , o subconjuntos de algo de cardinalidad dada , o un conjunto de potencias .

Si es un cardenal de incontable cofinality , y se cruza con cada conjunto del club de entonces se llama un sistema inmóvil . ^[1] Si un conjunto no es estacionario, se denomina conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de un conjunto delgado en la teoría de números . ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle S \ subseteq \ kappa,}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ kappa,}$ ${\ Displaystyle S}$

Si es un conjunto estacionario y es un conjunto de palos, entonces su intersección también es estacionaria. Esto se debe a que si es un conjunto de tréboles, entonces es un conjunto de tréboles, por lo que no está vacío. Por lo tanto, debe estar estacionario. ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle S \ cap C}$ ${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle C \ cap D}$ ${\ Displaystyle (S \ cap C) \ cap D = S \ cap (C \ cap D)}$ ${\ Displaystyle (S \ cap C)}$

La restricción a la cofinalidad incontable es para evitar trivialidades: supongamos que tiene cofinalidad contable. Entonces está estacionario en si y solo si está acotado . En particular, si la cofinalidad de es , entonces cualesquiera dos subconjuntos estacionarios de tienen intersección estacionaria. ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle S \ subseteq \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa \ setminus S}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ omega = \ aleph _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$

Este ya no es el caso si la cofinalidad de es incontable. De hecho, supongamos que además es regular y estático. Luego se puede dividir en muchos conjuntos estacionarios separados . Este resultado se debe a Solovay . Si es un cardenal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se muestra fácilmente mediante lo que se llama una matriz de Ulam . ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle S \ subseteq \ kappa}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ kappa}$