Motor de diferencia

Un motor de diferencia , una máquina de calcular diseñado en la década de 1820, fue creado por primera vez por Charles Babbage . Los motores de diferencia son calculadoras mecánicas automáticas diseñadas para tabular funciones polinomiales . El nombre, el motor de diferencias, se deriva del método de diferencias divididas , una forma de interpolar o tabular funciones mediante el uso de un pequeño conjunto de coeficientes polinomiales . Algunas de las funciones matemáticas más comunes utilizadas en la ingeniería, la ciencia y la navegación fueron, y aún pueden ser calculadas con el uso de la capacidad del motor de diferencias para calcular funciones logarítmicas y trigonométricas., que se puede aproximar mediante polinomios, por lo que un motor de diferencias puede calcular muchas tablas de números útiles .

El motor diferencial del London Science Museum , el primero construido a partir del diseño de Babbage. El diseño tiene la misma precisión en todas las columnas, pero al calcular polinomios, la precisión en las columnas de orden superior podría ser menor.

Primer plano del motor diferencial del London Science Museum que muestra algunas de las ruedas numéricas y los engranajes de sector entre columnas. Los engranajes del sector de la izquierda muestran los dientes de doble altura con mucha claridad. Los engranajes del sector en el medio a la derecha miran hacia la parte trasera del motor, pero los dientes de una altura son claramente visibles. Observe cómo se reflejan las ruedas, contando hacia arriba de izquierda a derecha o hacia abajo de izquierda a derecha. También observe la lengüeta de metal entre "6" y "7". Esa pestaña activa la palanca de transporte en la parte posterior cuando "9" pasa a "0" en la parte delantera durante los pasos de adición (Paso 1 y Paso 3).

La noción de una calculadora mecánica para funciones matemáticas se remonta al mecanismo de Antikythera del siglo II a.C., mientras que los primeros ejemplos modernos se atribuyen a Pascal y Leibniz en el siglo XVII. En 1784, JH Müller , un ingeniero del ejército de Hesse , ideó y construyó una máquina de sumar y describió los principios básicos de una máquina de diferencia en un libro publicado en 1786 (la primera referencia escrita a una máquina de diferencia data de 1784), pero no pudo obtener financiamiento para avanzar con la idea. [1] [2] [3]

Motores diferenciales de Charles Babbage

Charles Babbage comenzó a construir un motor de pequeñas diferencias en c. 1819 [4] y lo había completado en 1822 (Motor de diferencia 0). [5] Anunció su invención el 14 de junio de 1822, en un artículo para la Royal Astronomical Society , titulado "Nota sobre la aplicación de maquinaria al cálculo de tablas astronómicas y matemáticas". [6] Esta máquina usaba el sistema numérico decimal y se accionaba girando una manivela. El gobierno británico estaba interesado, ya que producir tablas consumía mucho tiempo y era costoso y esperaban que el motor diferencial hiciera la tarea más económica. [7]

En 1823, el gobierno británico le dio a Babbage £ 1700 para comenzar a trabajar en el proyecto. Aunque el diseño de Babbage era factible, las técnicas metalúrgicas de la época no podían fabricar piezas de forma económica con la precisión y la cantidad requeridas. Por lo tanto, la implementación resultó ser mucho más costosa y dudoso de éxito que la estimación inicial del gobierno. En 1832, Babbage y Joseph Clement produjeron un pequeño modelo de trabajo (una séptima parte de la sección de cálculo del motor de diferencia No. 1, [5] que estaba destinado a operar con números de 20 dígitos y diferencias de sexto orden) que operaba en 6 -números de dígitos y diferencias de segundo orden. [8] [9] Lady Byron describió haber visto el prototipo funcional en 1833: "Ambos fuimos a ver la máquina pensante (o eso parece) el lunes pasado. Levantó varios números a los poderes 2 y 3, y extrajo la raíz de una ecuación cuadrática ". [10] El trabajo en el motor más grande se suspendió en 1833.

Para cuando el gobierno abandonó el proyecto en 1842, [9] [11] Babbage había recibido y gastado más de 17.000 libras esterlinas en desarrollo, lo que aún no alcanzaba a lograr un motor en funcionamiento. El gobierno valoraba solo la producción de la máquina (tablas producidas económicamente), no el desarrollo (a un costo desconocido e impredecible para completar) de la máquina en sí. Babbage no reconoció, o no quiso, reconocer esa situación. [7] Mientras tanto, la atención de Babbage se había centrado en el desarrollo de un motor analítico , lo que socavó aún más la confianza del gobierno en el eventual éxito del motor de diferencias. Al mejorar el concepto como motor analítico, Babbage había hecho obsoleto el concepto de motor diferencial, y el proyecto para implementarlo fue un fracaso total en opinión del gobierno. [7]

El motor de diferencia no 1 incompleto se exhibió al público en la Exposición Internacional de 1862 en South Kensington , Londres. [12] [13]

Babbage pasó a diseñar su motor analítico mucho más general , pero luego produjo un diseño mejorado de "Motor de diferencia No. 2" (números de 31 dígitos y diferencias de séptimo orden), [8] entre 1846 y 1849. Babbage pudo tomar Aproveche las ideas desarrolladas para el motor analítico para hacer que el nuevo motor diferencial calcule más rápidamente utilizando menos piezas. [14] [15]

Motor de cálculo de Scheutzian

Según el tercer motor de diferencia de Georg Scheutz

Inspirado por el motor diferencial de Babbage en 1834, Per Georg Scheutz construyó varios modelos experimentales. En 1837 su hijo Edward propuso construir un modelo funcional en metal, y en 1840 terminó la parte de cálculo, capaz de calcular series con números de 5 dígitos y diferencias de primer orden, que luego se amplió a tercer orden (1842). En 1843, después de agregar la pieza de impresión, se completó el modelo.

En 1851, con fondos del gobierno, comenzó la construcción de la máquina más grande y mejorada (números de 15 dígitos y diferencias de cuarto orden), y terminó en 1853. La máquina se demostró en la Exposición Universal de París de 1855 y luego se vendió en 1856. al Observatorio Dudley en Albany, Nueva York . Entregado en 1857, fue la primera calculadora de impresión vendida. [16] [17] [18] En 1857, el gobierno británico ordenó la siguiente máquina diferencial de Scheutz , que se construyó en 1859. [19] [20] Tenía la misma construcción básica que la anterior, con un peso de aproximadamente 10  quilates (1,100  libras ; 510  kg ). [18]

Otros

Martin Wiberg mejoró la construcción de Scheutz (c. 1859, su máquina tiene la misma capacidad que la de Scheutz: 15 dígitos y cuarto orden) pero usó su dispositivo solo para producir y publicar tablas impresas (tablas de interés en 1860 y tablas logarítmicas en 1875) . [21]

Alfred Deacon de Londres en c. 1862 produjo un motor de pequeñas diferencias (números de 20 dígitos y diferencias de tercer orden). [16] [22]

El estadounidense George B. Grant comenzó a trabajar en su máquina de calcular en 1869, sin conocer las obras de Babbage y Scheutz (Schentz). Un año más tarde (1870) aprendió acerca de los motores diferenciales y procedió a diseñar uno él mismo, describiendo su construcción en 1871. En 1874 el Boston Thursday Club levantó una suscripción para la construcción de un modelo a gran escala, que fue construido en 1876. podría ampliarse para mejorar la precisión y pesaba alrededor de 2,000 libras (910 kg). [22] [23] [24]

Christel Hamann construyó una máquina (números de 16 dígitos y diferencias de segundo orden) en 1909 para las "Tablas de Bauschinger y Peters" ("Tablas logarítmico-trigonométricas con ocho lugares decimales"), que se publicó por primera vez en Leipzig en 1910. pesaba unos 40 kilogramos (88 libras). [25] [26] [27]

En 1912, Burroughs Corporation construyó una máquina para la Oficina de Almanaques Náuticos que se utilizó como motor diferencial de segundo orden. [28] : 451 [29] Más tarde fue reemplazado en 1929 por un Burroughs Clase 11 (números de 13 dígitos y diferencias de segundo orden, o números de 11 dígitos y [al menos hasta] diferencias de quinto orden). [30]

Alexander John Thompson alrededor de 1927 construyó una máquina de integración y diferenciación (números de 13 dígitos y diferencias de quinto orden) para su tabla de logaritmos "Logarithmetica britannica". Esta máquina estaba compuesta por cuatro calculadoras Triumphator modificadas. [31] [32] [33]

Leslie Comrie en 1928 describió cómo usar la máquina de calcular Brunsviga- Dupla como un motor de diferencia de segundo orden (números de 15 dígitos). [28] También señaló en 1931 que la clase 3000 de la máquina de contabilidad nacional podría usarse como un motor de diferencia de sexto orden. [22] : 137-138

Construcción de dos motores diferenciales No. 2 en funcionamiento

Durante la década de 1980, Allan G. Bromley , profesor asociado de la Universidad de Sydney , Australia , estudió los dibujos originales de Babbage para la Diferencia y los Motores Analíticos en la biblioteca del Museo de Ciencias de Londres. [34] Este trabajo llevó al Museo de Ciencias a construir una sección de cálculo en funcionamiento del motor diferencial No. 2 de 1985 a 1991, bajo la dirección de Doron Swade , el entonces Curador de Computación. Esto fue para celebrar el 200 aniversario del nacimiento de Babbage en 1991. En 2002, también se completó la impresora que Babbage diseñó originalmente para el motor diferencial. [35] La conversión de los dibujos de diseño originales en dibujos adecuados para el uso de los fabricantes de ingeniería reveló algunos errores menores en el diseño de Babbage (posiblemente introducidos como una protección en caso de que los planos fueran robados), [36] que tuvieron que corregirse. Una vez terminado, tanto el motor como la impresora funcionaron sin problemas, y aún lo hacen. El motor diferencial y la impresora se construyeron con tolerancias alcanzables con la tecnología del siglo XIX, lo que resolvió un debate de larga data sobre si el diseño de Babbage habría funcionado. (Una de las razones anteriormente expuestas para la no terminación de los motores de Babbage había sido que los métodos de ingeniería no estaban suficientemente desarrollados a finales de la era georgiana).

El propósito principal de la impresora es producir planchas estereotipadas para su uso en imprentas, lo que hace presionando el tipo en yeso suave para crear un flong . Babbage tenía la intención de que los resultados del motor se transmitieran directamente a la impresión en masa, habiendo reconocido que muchos errores en las tablas anteriores no eran el resultado de errores de cálculo humanos sino de errores en el proceso de composición tipográfica manual . [7] La salida de papel de la impresora es principalmente un medio para comprobar el rendimiento del motor.

Además de financiar la construcción del mecanismo de salida para el motor diferencial del Museo de Ciencias, Nathan Myhrvold encargó la construcción de un segundo motor diferencial completo n. ° 2, que se exhibió en el Museo de Historia de la Computación en Mountain View, California desde el 10 de mayo de 2008. hasta el 31 de enero de 2016. [37] [38] [39] [40] Desde entonces se ha transferido a Intellectual Ventures en Seattle, donde se exhibe justo fuera del vestíbulo principal.

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La máquina de Mountain View en acción

El motor de diferencia consiste en un número de columnas, numeradas de 1 a N . La máquina puede almacenar un número decimal en cada columna. La máquina solo puede agregar el valor de una columna n  + 1 a la columna n para producir el nuevo valor de n . La columna N solo puede almacenar una constante , la columna 1 muestra (y posiblemente imprime ) el valor del cálculo en la iteración actual .

El motor se programa estableciendo valores iniciales en las columnas. La columna 1 se establece en el valor del polinomio al comienzo del cálculo. Columna 2 se establece en un valor derivado de la primera y superiores derivados del polinomio en el mismo valor de X . Cada una de las columnas de 3 a N se establece en un valor derivado de la primera y derivadas superiores del polinomio.

Momento

En el diseño de Babbage, ocurre una iteración (es decir, un conjunto completo de operaciones de adición y acarreo ) por cada rotación del eje principal. Las columnas pares e impares realizan alternativamente una suma en un ciclo. La secuencia de operaciones para la columna es así:

  1. Cuente, recibiendo el valor de la columna (Paso de adición)
  2. Realizar propagación de acarreo en el valor contado
  3. Cuenta regresiva hasta cero, agregando a la columna
  4. Restablecer el valor de la cuenta regresiva a su valor original

Los pasos 1, 2, 3, 4 ocurren para cada columna impar, mientras que los pasos 3, 4, 1, 2 ocurren para cada columna par.

Si bien el diseño original de Babbage colocaba la manivela directamente en el eje principal, más tarde se descubrió que la fuerza requerida para hacer girar la máquina habría sido demasiado grande para que un humano la manejara cómodamente. Por lo tanto, los dos modelos que se construyeron incorporan un engranaje de reducción de 4: 1 en la manivela, y se requieren cuatro revoluciones de la manivela para realizar un ciclo completo.

Pasos

Cada iteración crea un nuevo resultado y se logra en cuatro pasos correspondientes a cuatro vueltas completas del mango que se muestra en el extremo derecho en la imagen de abajo. Los cuatro pasos son:

  • Paso 1. Todas las columnas pares (2, 4, 6, 8) se agregan a todas las columnas impares (1, 3, 5, 7) simultáneamente. Un brazo de barrido interior gira cada columna par para hacer que cualquier número que esté en cada rueda cuente hacia atrás hasta cero. Cuando una rueda gira a cero, transfiere su valor a un engranaje de sector ubicado entre las columnas pares / impares. Estos valores se transfieren a la columna impar, lo que hace que se cuenten. Cualquier valor de columna impar que pase de "9" a "0" activa una palanca de acarreo .
  • Paso 2. La propagación del acarreo se logra mediante un conjunto de brazos en espiral en la parte posterior que levantan las palancas de acarreo de manera helicoidal para que un acarreo en cualquier nivel pueda incrementar la rueda de arriba en uno. Eso puede crear un acarreo, razón por la cual los brazos se mueven en espiral. Al mismo tiempo, los engranajes del sector se devuelven a su posición original, lo que hace que incrementen las ruedas de pilares pares a sus valores originales. Los engranajes del sector son de doble altura en un lado, por lo que se pueden levantar para desengancharse de las ruedas de las columnas impares mientras aún permanecen en contacto con las ruedas de las columnas pares.
  • Paso 3. Esto es como el Paso 1, excepto que se agregan columnas impares (3,5,7) a columnas pares (2,4,6), y la columna uno tiene sus valores transferidos por un engranaje de sector al mecanismo de impresión en el extremo izquierdo del motor. Cualquier valor de columna par que pase de "9" a "0" activa una palanca de acarreo. El valor de la columna 1, el resultado del polinomio, se envía al mecanismo de la impresora adjunta.
  • Paso 4. Esto es como el Paso 2, pero para realizar las columnas pares y devolver las impares a sus valores originales.

Sustracción

El motor representa números negativos como complementos de diez . La resta equivale a la suma de un número negativo. Esto funciona de la misma manera que las computadoras modernas realizan la resta, conocida como complemento a dos .

Motor diferencial completamente operativo en el Museo de Historia de la Computación en Mountain View, California

El principio de un motor de diferencias es el método de Newton de diferencias divididas . Si el valor inicial de un polinomio (y de sus diferencias finitas ) se calcula por algún medio para algún valor de X , el motor de diferencias puede calcular cualquier número de valores cercanos, utilizando el método generalmente conocido como el método de diferencias finitas . Por ejemplo, considere el polinomio cuadrático

con el objetivo de tabular los valores p (0), p (1), p (2), p (3), p (4), etc. La siguiente tabla está construida de la siguiente manera: la segunda columna contiene los valores del polinomio, la tercera columna contiene las diferencias de los dos vecinos de la izquierda en la segunda columna y la cuarta columna contiene las diferencias de los dos vecinos en la tercera columna:

Xp ( x ) = 2 x 2 - 3 x + 2diff1 ( x ) = (  p ( x  + 1) - p ( x ))diff2 ( x ) = (diff1 ( x  + 1) - diff1 ( x ))
02−14
1134
2474
31111
422

Los números de la tercera columna de valores son constantes. De hecho, al comenzar con cualquier polinomio de grado n , el número de columna n  + 1 siempre será constante. Este es el hecho crucial detrás del éxito del método.

Esta tabla se construyó de izquierda a derecha, pero es posible seguir construyéndola de derecha a izquierda en diagonal para calcular más valores. Para calcular p (4) use los valores de la diagonal más baja. Comience con el valor constante de la cuarta columna de 4 y cópielo en la columna. Luego continúe la tercera columna agregando 4 a 11 para obtener 15. Luego continúe la segunda columna tomando su valor anterior, 22 y agregando el 15 de la tercera columna. Por lo tanto, p (5) es 22 + 15 = 37. Para calcular p (6), iteramos el mismo algoritmo en los valores de p (5): tome 4 de la cuarta columna, agregue eso al valor de la tercera columna 15 para obtenga 19, luego agregue eso al valor de la segunda columna 37 para obtener 56, que es p (6). Este proceso puede continuar ad infinitum . Los valores del polinomio se producen sin tener que multiplicar. Un motor de diferencia solo necesita poder agregar. De un bucle al siguiente, necesita almacenar 2 números, en este ejemplo (los últimos elementos en la primera y segunda columnas). Para tabular polinomios de grado n , se necesita suficiente almacenamiento para contener n números.

El motor diferencial n. ° 2 de Babbage, finalmente construido en 1991, puede contener 8 números de 31 dígitos decimales cada uno y, por lo tanto, puede tabular polinomios de séptimo grado con esa precisión. Las mejores máquinas de Scheutz podían almacenar 4 números de 15 dígitos cada uno. [41]

Los valores iniciales de las columnas se pueden calcular calculando primero manualmente N valores consecutivos de la función y retrocediendo , es decir, calculando las diferencias necesarias.

Columna obtiene el valor de la función al inicio del cálculo . Columna es la diferencia entre y ... [42]

Si la función a calcular es una función polinomial , expresada como

los valores iniciales se pueden calcular directamente a partir de los coeficientes constantes a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n sin calcular ningún punto de datos. Los valores iniciales son así:

  • Columna = un 0
  • Columna = un 1 + un 2 + un 3 + un 4 + ... + un n
  • Columna = 2 a 2 + 6 a 3 + 14 a 4 + 30 a 5 + ...
  • Columna = 6 a 3 + 36 a 4 + 150 a 5 + ...
  • Columna = 24 a 4 + 240 a 5 + ...
  • Columna = 120 a 5 + ...

Uso de derivados

Muchas funciones de uso común son funciones analíticas , que se pueden expresar como series de potencias , por ejemplo, como una serie de Taylor . Los valores iniciales se pueden calcular con cualquier grado de precisión; si se hace correctamente, el motor dará resultados exactos para los primeros N pasos. Después de eso, el motor solo dará una aproximación de la función.

La serie de Taylor expresa la función como una suma obtenida de sus derivadas en un punto. Para muchas funciones, las derivadas superiores son triviales de obtener; por ejemplo, la función seno en 0 tiene valores de 0 opara todos los derivados. Al establecer 0 como el inicio del cálculo, obtenemos la serie de Maclaurin simplificada

Se puede utilizar el mismo método de cálculo de los valores iniciales a partir de los coeficientes que para las funciones polinomiales. Los coeficientes de la constante polinomial ahora tendrán el valor

Ajuste de curvas

El problema con los métodos descritos anteriormente es que se acumularán errores y la serie tenderá a divergir de la función verdadera. Una solución que garantiza un error máximo constante es utilizar el ajuste de curvas . Se calcula un mínimo de N valores espaciados uniformemente a lo largo del rango de los cálculos deseados. Usando una técnica de ajuste de curvas como la reducción gaussiana, se encuentra una interpolación polinomial de N −1º grado de la función. [42] Con el polinomio optimizado, los valores iniciales se pueden calcular como se indicó anteriormente.

The Difference Engine, de William Gibson y Bruce Sterling, es una novela de historia alternativa [43] que analiza cómo habría progresado la sociedad si el motor diferencial y su motor analítico hubieran funcionado como Babbage imaginó.

La historia tiene lugar en la Inglaterra victoriana, en la que los avances tecnológicos van en aumento gracias al éxito de la máquina analítica de Babbage. La convención del steampunk en la que la moda victoriana se combina con los elementos tecnológicos de la Revolución Industrial se ve a lo largo de la historia ya que su tecnología es tan avanzada en la época.

  • Ada Lovelace
  • Allan G. Bromley
  • Motor analítico
  • Mecanismo de Antikythera
  • Johann Helfrich von Müller
  • Martin Wiberg
  • Por Georg Scheutz
  • Calculadora de molinillo

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  • La exposición del Computer History Museum sobre Babbage y el motor de la diferencia
  • Museo de Ciencias Babbage , Londres. Descripción de los proyectos de máquinas calculadoras de Babbage y el estudio del Museo de Ciencias de las obras de Babbage, incluidos los proyectos de reconstrucción y construcción de modelos modernos.
  • Motor de diferencia Meccano # 1
  • Motor de diferencia Meccano # 2
  • El motor de la primera diferencia de Babbage: cómo se pretendía que funcionara
  • Análisis del gasto en el motor de diferencia n. ° 1 de Babbage
  • Funcionamiento del motor diferencial con animaciones.
  • Pieza de muestra de Difference Engine No1 en el Powerhouse Museum, Sydney
  • Imagen de gigapíxeles del motor de diferencia No2
  • Motor de diferencia de Scheutz en video de acción. Adquirido por el primer director del Observatorio Dudley, Benjamin Apthorp Gould, en 1856. Gould era un conocido de Babbage. The Difference Engine realizó cálculos astronómicos para el Observatorio durante muchos años y ahora es parte de la colección nacional del Smithsonian.
  • Enlaces a videos sobre Babbage DE 2 y su construcción: "Historias informáticas: para aprender más" . www.computerhistories.org . Tema 5: Computadoras en la era de Steam (no hackers sino chacaleros).