Álgebra de diferencias

El álgebra de diferencias es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de ecuaciones en diferencias (o funcionales ) desde el punto de vista algebraico. El álgebra de diferencias es análoga al álgebra diferencial, pero se ocupa de ecuaciones en diferencias en lugar de ecuaciones diferenciales. Como asignatura independiente fue iniciada por Joseph Ritt y su alumno Richard Cohn.

Anillos de diferencia, campos de diferencias y álgebras de diferencias

Un anillo de diferencia es un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ junto con un endomorfismo en anillo ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$. A menudo se asume que${\displaystyle \sigma }$es inyectable. Cuándo${\displaystyle R}$es un campo se habla de un campo de diferencia . Un ejemplo clásico de un campo de diferencia es el campo${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ de funciones racionales con el operador diferencia ${\displaystyle \sigma }$ dada por ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$. El papel de los anillos de diferencia en el álgebra de diferencias es similar al papel de los anillos conmutativos en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . Un morfismo de anillos de diferencia es un morfismo de anillos que conmuta con${\displaystyle \sigma }$. Un álgebra de diferencias sobre un campo de diferencias${\displaystyle K}$ es un anillo de diferencia ${\displaystyle R}$ con un ${\displaystyle K}$-estructura del álgebra tal que ${\displaystyle K\to R}$ es un morfismo de anillos de diferencia, es decir ${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$ se extiende ${\displaystyle \sigma \colon K\to K}$. Un álgebra de diferencias que es un campo se llama extensión de campo de diferencias .

Ecuaciones en diferencias algebraicas

El anillo polinomial de diferencia ${\displaystyle K\{y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ sobre un campo de diferencia ${\displaystyle K}$ en las (diferencias) variables ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ es el anillo polinomial sobre ${\displaystyle K}$ en las infinitas variables ${\displaystyle \sigma ^{i}(y_{j}),\ (i\in \mathbb {N} ,1\leq j\leq n)}$. Se convierte en una diferencia de álgebra sobre${\displaystyle K}$ extendiendo ${\displaystyle \sigma }$ desde ${\displaystyle K}$ para ${\displaystyle K\{y\}}$ como sugiere el nombre de las variables.

Mediante un sistema de ecuaciones en diferencias algebraicas sobre${\displaystyle K}$ uno significa cualquier subconjunto ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle K\{y\}}$. Si${\displaystyle R}$ es una diferencia de álgebra sobre ${\displaystyle K}$ las soluciones de ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle R}$ son

${\displaystyle \mathbb {V} _{R}(F)=\{a\in R^{n}|\ f(a)=0{\text{ for all }}f\in F\}.}$

Clásicamente, uno está interesado principalmente en soluciones en extensiones de campo de diferencia de ${\displaystyle K}$. Por ejemplo, si${\displaystyle K=\mathbb {C} (x)}$ y ${\displaystyle R}$ es el campo de las funciones meromorfas en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ con operador de diferencia ${\displaystyle \sigma }$ dada por ${\displaystyle \sigma (f(x))=f(x+1)}$, entonces el hecho de que la función gamma ${\displaystyle \Gamma }$ satisface la ecuación funcional ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ se puede reformular de forma abstracta como ${\displaystyle \Gamma \in \mathbb {V} _{R}(\sigma (y_{1})-xy_{1})}$.

Variedades de diferencia

Intuitivamente, una variedad de diferencias sobre un campo de diferencias${\displaystyle K}$ es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones en diferencias algebraicas sobre ${\displaystyle K}$. Esta definición debe hacerse más precisa especificando dónde se buscan las soluciones. Por lo general, se buscan soluciones en la llamada familia universal de extensiones de campo de diferencia de${\displaystyle K}$. ^{[1] [2]} Alternativamente, se puede definir una variedad de diferencia como un funtor de la categoría de extensiones de campo de diferencia de${\displaystyle K}$ a la categoría de conjuntos, que es de la forma ${\displaystyle R\rightsquigarrow \mathbb {V} _{R}(F)}$ para algunos ${\displaystyle F\subseteq K\{y\}.}$.

Existe una correspondencia uno a uno entre las variedades en diferencias definidas por ecuaciones en diferencias algebraicas en las variables ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ y ciertos ideales en ${\displaystyle K\{y\}}$, a saber, los ideales de diferencia perfecta de ${\displaystyle K\{y\}}$. ^[3] Uno de los teoremas básicos del álgebra de diferencias afirma que toda cadena ascendente de ideales de diferencias perfectas en${\displaystyle K\{y\}}$es finito. Este resultado puede verse como una diferencia análoga del teorema de la base de Hilbert .

Aplicaciones

El álgebra de diferencias está relacionada con muchas otras áreas matemáticas, como los sistemas dinámicos discretos , la combinatoria , la teoría de números o la teoría de modelos . Si bien algunos problemas de la vida real, como la dinámica de poblaciones , pueden modelarse mediante ecuaciones en diferencias algebraicas, el álgebra en diferencias también tiene aplicaciones en matemáticas puras. Por ejemplo, hay una prueba de la conjetura de Manin-Mumford usando métodos de álgebra de diferencias. ^[4] Se ha estudiado la teoría de modelos de campos de diferencias.

Ver también

• Diferencia finita
• Relación de recurrencia
• Ecuación funcional
• Álgebra diferencial

Notas

1. Cohn. Álgebra de diferencias . Capítulo 4
2. Levin. Álgebra de diferencias . Sección 2.6
3. Levin. Álgebra de diferencias . Teorema 2.6.4
4. Hrushovski, Ehud (2001). "La conjetura de Manin-Mumford y la teoría del modelo de campos de diferencias" . Anales de lógica pura y aplicada . 112 (1): 43-115. doi : 10.1016 / S0168-0072 (01) 00096-3 .

Referencias

• Alexander Levin (2008), álgebra de diferencias , Springer, ISBN 978-1-4020-6946-8 
• Richard M. Cohn (1979), álgebra de diferencias , RE Krieger Pub. Co., ISBN 978-0-88275-651-6 

Enlaces externos

• Wibmer, Michael (2013). Lecture Notes - Ecuaciones en diferencias algebraicas (PDF) . pp. 80 páginas.
• La página de inicio de Zoé Chatzidakis tiene varias encuestas en línea que discuten (la teoría del modelo de) campos de diferencias.