Pushforward (diferencial)


En geometría diferencial , pushforward es una aproximación lineal de mapas suaves en espacios tangentes. Supongamos que φ  : MN es una aplicación suave entre variedades suaves ; entonces la diferencial de φ, , en un punto x es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de φ cerca de x . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es un mapa lineal del espacio tangentede M en x al espacio tangente de N en φ ( x ), . Por lo tanto , se puede usar para empujar vectores tangentes en M hacia adelante a vectores tangentes en N. La diferencial de una función φ también es llamada, por varios autores, derivada o derivada total de φ .

Sea φ  : UV una aplicación suave de un subconjunto abierto U de a un subconjunto abierto V de . Para cualquier punto x en U , el jacobiano de φ en x (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de φ en x , que es un mapa lineal

Deseamos generalizar esto para el caso de que φ sea una función suave entre cualquier variedad suave M y N .

Sea un mapa suave de variedades suaves. Dado el diferencial de at es un mapa lineal

desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at La imagen de un vector tangente debajo a veces se denomina avance de por La definición exacta de este avance depende de la definición que se use para los vectores tangentes (para las diversas definiciones, consulte espacio tangente ) .

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales el diferencial viene dado por


"Si un mapa, φ, lleva todos los puntos de la variedad M a la variedad N, entonces el avance de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto de M a un espacio tangente en cada punto de N".
Si un mapa, φ , lleva cada punto en la variedad M a la variedad N , entonces el avance de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto en M a un espacio tangente en cada punto en N.