Pushforward (diferencial)

En geometría diferencial , pushforward es una aproximación lineal de mapas suaves en espacios tangentes. Supongamos que φ  : M → N es una aplicación suave entre variedades suaves ; entonces la diferencial de φ, ,${\displaystyle d\varphi}$ en un punto x es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de φ cerca de x . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, el diferencial es un mapa lineal del espacio tangentede M en x al espacio tangente de N en φ ( x ), . Por lo tanto , se puede usar para empujar vectores tangentes en M hacia adelante a vectores tangentes en N. La diferencial de una función φ también es llamada, por varios autores, derivada o derivada total de φ .${\displaystyle d\varphi :T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$

Sea φ  : U → V una aplicación suave de un subconjunto abierto U de a un subconjunto abierto V de . Para cualquier punto x en U , el jacobiano de φ en x (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de φ en x , que es un mapa lineal${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

Deseamos generalizar esto para el caso de que φ sea una función suave entre cualquier variedad suave M y N .

Sea un mapa suave de variedades suaves. Dado el diferencial de at es un mapa lineal${\ estilo de visualización \ varphi \ dos puntos M \ a N}$${\ estilo de visualización x \ en M,}$${\ estilo de visualización \ varphi}$${\ estilo de visualización x}$

desde el espacio tangente de at al espacio tangente de at La imagen de un vector tangente debajo a veces se denomina avance de por La definición exacta de este avance depende de la definición que se use para los vectores tangentes (para las diversas definiciones, consulte espacio tangente ) .${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización \ varphi (x).}$${\displaystyle d\varphi _{x}X}$${\ estilo de visualización X \ en T_ {x} M}$${\ estilo de visualización d \ varphi _ {x}}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ varphi.}$

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales el diferencial viene dado por${\ estilo de visualización \ gamma}$${\ estilo de visualización \ gamma (0) = x,}$

Si un mapa, φ , lleva cada punto en la variedad M a la variedad N , entonces el avance de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto en M a un espacio tangente en cada punto en N.