En física matemática , los axiomas de Dirac-von Neumann dan una formulación matemática de la mecánica cuántica en términos de operadores en un espacio de Hilbert . Fueron introducidos por Paul Dirac en 1930 y John von Neumann en 1932.
Formulación del espacio de Hilbert
El espacio es un espacio de Hilbert complejo fijo de dimensión infinita contable .
- Los observables de un sistema cuántico se definen como los operadores autoadjuntos (posiblemente ilimitados ) en .
- Un estado del sistema cuántico es un vector unitario de, hasta múltiplos escalares; o equivalentemente, un rayo del espacio de Hilbert.
- El valor esperado de un A observable para un sistema en un estadoviene dado por el producto interior .
Formulación de álgebra de operador
Los axiomas de Dirac-von Neumann se pueden formular en términos de un álgebra C * de la siguiente manera.
- Los observables acotados del sistema mecánico cuántico se definen como los elementos autoadjuntos del álgebra C *.
- Los estados del sistema mecánico cuántico se definen como los estados del álgebra C * (en otras palabras, los funcionales lineales positivos normalizados).
- El valor de un estado en un elemento es el valor esperado del observable si el sistema cuántico está en el estado .
Ejemplo
Si el álgebra C * es el álgebra de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert , entonces los observables acotados son solo los operadores autoadjuntos acotados en . Si es un vector unitario de luego es un estado en el álgebra C *, lo que significa que los vectores unitarios (hasta la multiplicación escalar) dan los estados del sistema. Esto es similar a la formulación de Dirac de la mecánica cuántica, aunque Dirac también permitió operadores ilimitados y no distinguió claramente entre operadores autoadjuntos y hermitianos.
Ver también
Referencias
- Dirac, Paul (1930), Los principios de la mecánica cuántica
- Strocchi, F. (2008), Introducción a la estructura matemática de la mecánica cuántica. Un curso corto para matemáticos , Advanced Series in Mathematical Physics, 28 (2 ed.), World Scientific Publishing Co., Bibcode : 2008ASMP ... 28 ..... S , doi : 10.1142 / 7038 , ISBN 9789812835222, MR 2484367
- Takhtajan, Leon A. (2008), Mecánica cuántica para matemáticos , Estudios de posgrado en matemáticas , 95 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / gsm / 095 , ISBN 978-0-8218-4630-8, MR 2433906
- von Neumann, John (1932), Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , Berlín: Springer, MR 0066944