En matemáticas , más específicamente en análisis funcional y teoría de operadores , la noción de operador ilimitado proporciona un marco abstracto para tratar con operadores diferenciales , observables ilimitados en mecánica cuántica y otros casos.
El término "operador ilimitado" puede inducir a error, ya que
- "ilimitado" debe entenderse a veces como "no necesariamente acotado";
- "operador" debe entenderse como " operador lineal " (como en el caso de "operador acotado");
- el dominio del operador es un subespacio lineal, no necesariamente el espacio completo;
- este subespacio lineal no es necesariamente cerrado; a menudo (pero no siempre) se supone que es denso;
- en el caso especial de un operador acotado, aún así, generalmente se asume que el dominio es el espacio completo.
A diferencia de los operadores acotados, los operadores ilimitados en un espacio dado no forman un álgebra, ni siquiera un espacio lineal, porque cada uno está definido en su propio dominio.
El término "operador" a menudo significa "operador lineal limitado", pero en el contexto de este artículo significa "operador ilimitado", con las reservas hechas anteriormente. Se supone que el espacio dado es un espacio de Hilbert . [se necesita aclaración ] Algunas generalizaciones a los espacios de Banach y los espacios vectoriales topológicos más generales son posibles.
Historia corta
La teoría de los operadores ilimitados se desarrolló a finales de la década de 1920 y principios de la de 1930 como parte del desarrollo de un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica . [1] El desarrollo de la teoría se debe a John von Neumann [2] y Marshall Stone . [3] Von Neumann introdujo el uso de gráficos para analizar operadores ilimitados en 1936. [4]
Definiciones y propiedades básicas
Deje que X , Y sea espacios de Banach . Un operador sin límites (o simplemente operador ) T : X → Y es un mapa lineal T desde un subespacio lineal D ( T ) ⊆ X - el dominio de T - al espacio Y . [5] Al contrario de la convención habitual, T no se puede definir en todo el espacio X . Dos operadores son iguales si tienen un dominio común y coinciden en ese dominio común. [5]
Se dice que un operador T está cerrado si su gráfico Γ ( T ) es un conjunto cerrado . [6] (Aquí, la gráfica Γ ( T ) es un subespacio lineal de la suma directa X ⊕ Y , definida como el conjunto de todos los pares ( x , Tx ) , donde x corre sobre el dominio de T. ) Explícitamente, esto significa que para cada secuencia { x n } de puntos del dominio de T tal que x n → x y Tx n → y , se sostiene que x pertenece al dominio de T y Tx = y . [6] La cercanía también se puede formular en términos de la norma gráfica : un operador T es cerrado si y solo si su dominio D ( T ) es un espacio completo con respecto a la norma: [7]
Un operador T se dice que está definido densamente si su dominio es denso en X . [5] Esto también incluye operadores definidos en todo el espacio X , ya que todo el espacio es denso en sí mismo. La densidad del dominio es necesaria y suficiente para la existencia del adjunto (si X e Y son espacios de Hilbert) y la transposición; consulte las secciones siguientes.
Si T : X → Y está cerrada, densamente definido y continua en su dominio, entonces su dominio es todo de X . [8]
Un operador T densamente definido en un espacio de Hilbert H se llama acotado desde abajo si T + a es un operador positivo para algún número real a . Es decir, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ - un || x || 2 para todos x en el dominio de T (o alternativamente ⟨ Tx | x ⟩ ≥ un || x || 2 desde una es arbitrario). [9] Si tanto T como - T están acotados desde abajo, entonces T está acotado. [9]
Ejemplo
Sea C ([0, 1]) el espacio de funciones continuas en el intervalo unitario, y sea C 1 ([0, 1]) el espacio de funciones continuamente diferenciables. Equipamos con la norma suprema, , convirtiéndolo en un espacio de Banach. Definir el operador de diferenciación clásicoD/dx : C 1 ([0, 1]) → C ([0, 1]) por la fórmula habitual:
Cada función diferenciable es continua, entonces C 1 ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Afirmamos queD/dx : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) es un operador ilimitado bien definido, con dominio C 1 ([0, 1]) . Para esto, necesitamos demostrar que es lineal y luego, por ejemplo, exhibe algunos tal que y .
Este es un operador lineal, ya que una combinación lineal a f + bg de dos funciones continuamente diferenciables f , g también es continuamente diferenciable, y
El operador no está limitado. Por ejemplo,
satisfacer
pero
como .
El operador está densamente definido y cerrado.
El mismo operador puede tratarse como un operador Z → Z para muchas opciones del espacio de Banach Z y no estar delimitado entre ninguno de ellos. Al mismo tiempo, puede estar delimitado como un operador X → Y para otros pares de espacios de Banach X , Y , y también como operador Z → Z para algunos espacios vectoriales topológicos Z . [ aclaración necesaria ] Como ejemplo, sea I ⊂ R un intervalo abierto y considere
dónde:
Adjunto
El adjunto de un operador ilimitado se puede definir de dos formas equivalentes. Sea T : D ( T ) ⊆ H 1 → H 2 un operador ilimitado entre espacios de Hilbert.
Primero, se puede definir de una manera análoga a cómo se define el adjunto de un operador acotado. Es decir, el adjunto T ∗ : D ( T * ) ⊆ H 2 → H 1 de T se define como un operador con la propiedad:
Más precisamente, T ∗ se define de la siguiente manera. Si y ∈ H 2 es tal quees un funcional lineal continuo en el dominio de T , entonces y se declara como un elemento de D ( T * ) , y después de extender el funcional lineal a todo el espacio mediante el teorema de Hahn-Banach , es posible encontrar un z en H 1 tal que
ya que el dual de un espacio de Hilbert puede identificarse con el conjunto de funcionales lineales dados por el producto interno. Para cada y , z se determina de forma única si y sólo si el funcional lineal tan extendido estaba densamente definido; es decir, si T está densamente definido. Finalmente, dejando T ∗ y = z completa la construcción de T ∗ . [10] Nótese que T ∗ existe si y solo si T está densamente definido.
Por definición, el dominio de T ∗ consta de elementos y en H 2 tales quees continua en el dominio de T . En consecuencia, el dominio de T ∗ podría ser cualquier cosa; podría ser trivial (es decir, contiene solo cero). [11] Puede suceder que el dominio de T ∗ sea un hiperplano cerrado y T ∗ desaparezca en todas partes del dominio. [12] [13] Por lo tanto, los límites de T * en su dominio no implica la acotación de T . Por otro lado, si T ∗ se define en todo el espacio, entonces T está acotado en su dominio y, por lo tanto, puede extenderse por continuidad a un operador acotado en todo el espacio. [14] Si el dominio de T ∗ es denso, entonces tiene su T ∗∗ adjunto . [15] Un operador cerrado T densamente definido está acotado si y solo si T ∗ está acotado. [dieciséis]
La otra definición equivalente del adjunto se puede obtener observando un hecho general. Defina un operador lineal J de la siguiente manera: [15]
Dado que J es una sobreyección isométrica, es unitaria. Por lo tanto: J (Γ ( T )) ⊥ es la gráfica de algún operador S si y solo si T está densamente definido. [17] Un cálculo simple muestra que este "algunos" S satisface:
para cada x en el dominio de T . Por lo tanto, S es el adjunto de T .
De la definición anterior se deduce inmediatamente que el adjunto T ∗ está cerrado. [15] En particular, un operador autoadjunto (es decir, T = T ∗ ) está cerrado. Un operador T se cierra y densamente define si y sólo si T ** = T . [18]
Algunas propiedades conocidas de los operadores acotados se generalizan a operadores cerrados densamente definidos. El núcleo de un operador cerrado está cerrado. Además, el núcleo de un operador cerrado densamente definido T : H 1 → H 2 coincide con el complemento ortogonal del rango del adjunto. Es decir, [19]
El teorema de von Neumann establece que T ∗ T y TT ∗ son autoadjuntos, y que I + T ∗ T e I + TT ∗ ambos tienen inversos acotados. [20] Si T ∗ tiene un núcleo trivial, T tiene un rango denso (por la identidad anterior). Además:
- T es sobreyectiva si y solo si hay un K > 0 tal que || f || 2 ≤ K || T ∗ f || 1 para todo f en D ( T ∗ ) . [21] (Esto es esencialmente una variante del llamado teorema de rango cerrado ). En particular, T tiene rango cerrado si y solo si T ∗ tiene rango cerrado.
A diferencia del caso acotado, no es necesario que ( TS ) ∗ = S ∗ T ∗ , ya que, por ejemplo, incluso es posible que ( TS ) ∗ no exista. [ cita requerida ] Este es, sin embargo, el caso si, por ejemplo, T está acotado. [22]
Un operador cerrado T densamente definido se llama normal si satisface las siguientes condiciones equivalentes: [23]
- T ∗ T = TT ∗ ;
- el dominio de T es igual al dominio de T ∗ , y || Tx || = || T ∗ x || para cada x en este dominio;
- existen operadores autoadjuntos A , B tales que T = A + iB , T ∗ = A - iB y || Tx || 2 = || Hacha || 2 + || Bx || 2 por cada x en el dominio de T .
Todo operador autoadjunto es normal.
Transponer
Sea T : B 1 → B 2 un operador entre espacios de Banach. Entonces la transposición (o dual )de T es un operador que satisface:
para todo x en B 1 e y en B 2 * . Aquí, usamos la notación:. [24]
La condición necesaria y suficiente para que exista la transposición de T es que T esté densamente definida (esencialmente por la misma razón que para los adjuntos, como se discutió anteriormente).
Para cualquier espacio de Hilbert H , existe el isomorfismo antilineal:
dado por Jf = y donde. A través de este isomorfismo, la transpuesta T 'se relaciona con la adjunta T ∗ de la siguiente manera:
- , [25]
dónde . (Para el caso de dimensión finita, esto corresponde al hecho de que el adjunto de una matriz es su transpuesta conjugada). Tenga en cuenta que esto da la definición de adjunto en términos de una transpuesta.
Operadores lineales cerrados
Los operadores lineales cerrados son una clase de operadores lineales en espacios de Banach . Son más generales que los operadores acotados y, por lo tanto, no son necesariamente continuos , pero aún conservan propiedades lo suficientemente agradables como para que se pueda definir el espectro y (con ciertas suposiciones) el cálculo funcional para tales operadores. Muchos operadores lineales importantes que no se acotan resultan ser cerrados, como la derivada y una gran clase de operadores diferenciales .
Sean X , Y dos espacios de Banach . Un operador lineal A : D ( A ) ⊆ X → Y se cierra si para cada secuencia { x n } en D ( A ) convergente para x en X tal que Ax n → y ∈ Y como n → ∞ uno tiene x ∈ D ( A ) y Ax = y . De manera equivalente, A se cierra si su gráfica se cerró en la suma directa X ⊕ Y .
Dado un operador lineal A , no necesariamente cerrado, si el cierre de su gráfico en X ⊕ Y resulta ser el gráfico de algún operador, ese operador se llama cierre de A , y decimos que A es cerrable . Denotar el cierre de A por A . De ello se deduce que A es la restricción de A a D ( A ) .
Un núcleo (o dominio esencial ) de un operador que puede cerrarse es un subconjunto C de D ( A ) de tal manera que el cierre de la restricción de A a C es A .
Ejemplo
Considere el operador derivado A = D/dxdonde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si se toma su dominio D ( A ) como C 1 ([ a , b ]) , entonces A es un operador cerrado, que no está acotado. [26] Por otro lado, si D ( A ) = C ∞ ([ a , b ]) , entonces A ya no se cerrará, pero se podrá cerrar, siendo el cierre su extensión definida en C 1 ([ a , b ]) .
Operadores simétricos y operadores autoadjuntos
Un operador T en un espacio de Hilbert es simétrica si y sólo si para cada x e y en el dominio de T que tenemos. Un operador densamente definido T es simétrica si y sólo si está de acuerdo con su adjunto T * restringida al ámbito de la T , en otras palabras, cuando T * es una extensión del T . [27]
En general, si T está densamente definida y simétrica, el dominio del adjunto T * necesidad es igual al dominio de la T . Si T es simétrico y el dominio de T y el dominio del adjunto coinciden, entonces decimos que T es autoadjunto . [28] Nótese que, cuando T es autoadjunto, la existencia del adjunto implica que T está densamente definido y dado que T ∗ es necesariamente cerrado, T es cerrado.
Un operador T densamente definido es simétrico , si el subespacio Γ ( T ) (definido en una sección anterior) es ortogonal a su imagen J (Γ ( T )) bajo J (donde J ( x , y ): = ( y , - x )). [29]
De manera equivalente, un operador T es autoadjunto si está densamente definido, cerrado, simétrico y satisface la cuarta condición: ambos operadores T - i , T + i son sobreyectivos, es decir, mapean el dominio de T en todo el espacio H . En otras palabras: para cada x en H existen y y z en el dominio de T tal que Ty - iy = x y Tz + iz = x . [30]
Un operador T es autoadjunto , si los dos subespacios Γ ( T ) , J (Γ ( T )) son ortogonales y su suma es el espacio completo[15]
Este enfoque no cubre los operadores cerrados no densamente definidos. Los operadores simétricos no densamente definidos se pueden definir directamente o mediante gráficos, pero no mediante operadores adjuntos.
Un operador simétrico a menudo se estudia a través de su transformada de Cayley .
Un operador T en un espacio de Hilbert complejo es simétrico si y solo si su forma cuadrática es real, es decir, el númeroque es real para todos los x en el dominio de la T . [27]
Un operador T simétrico cerrado densamente definido es autoadjunto si y solo si T ∗ es simétrico. [31] Puede suceder que no lo sea. [32] [33]
Un operador T densamente definido se llama positivo [9] (o no negativo [34] ) si su forma cuadrática no es negativa, es decir,para todo x en el dominio de la T . Tal operador es necesariamente simétrico.
El operador T ∗ T es autoadjunto [35] y positivo [9] para cada T cerrado densamente definido .
El teorema espectral se aplica a los operadores autoadjuntos [36] y, además, a los operadores normales, [37] [38] pero no a los operadores cerrados densamente definidos en general, ya que en este caso el espectro puede estar vacío. [39] [40]
Un operador simétrico definido en todas partes es cerrado, por lo tanto acotado, [6] que es el teorema de Hellinger-Toeplitz . [41]
Por definición, un operador T es una extensión de un operador S si Γ ( S ) ⊆ Γ ( T ) . [42] Una definición directa equivalente: para cada x en el dominio de S , x pertenece al dominio de T y Sx = Tx . [5] [42]
Tenga en cuenta que existe una extensión definida en todas partes para cada operador, que es un hecho puramente algebraico explicado en Mapa lineal discontinuo # Teorema de existencia general y basado en el axioma de elección . Si el operador dado no está acotado, la extensión es un mapa lineal discontinuo . Es de poca utilidad ya que no puede preservar propiedades importantes del operador dado (ver más abajo), y generalmente no es único.
Un operador T se puede cerrar si satisface las siguientes condiciones equivalentes: [6] [42] [43]
- T tiene una extensión cerrada;
- el cierre de la gráfica de T es la gráfica de algún operador;
- para cada secuencia ( x n ) de puntos del dominio de T tal que x n → 0 y también Tx n → y se sostiene que y = 0 .
No todos los operadores se pueden cerrar. [44]
Un operador T que se puede cerrar tiene la extensión menos cerradallamado el cierre de la T . El cierre de la gráfica de T es igual a la gráfica de[6] [42]
Pueden existir otras extensiones cerradas no mínimas. [32] [33]
Un operador T densamente definido se puede cerrar si y solo si T ∗ está densamente definido. En este caso y [15] [45]
Si S está densamente definido y T es una extensión de S, entonces S ∗ es una extensión de T ∗ . [46]
Cada operador simétrico se puede cerrar. [47]
Un operador simétrico se llama simétrico máximo si no tiene extensiones simétricas, excepto por sí mismo. [27]
Cada operador autoadjunto es simétrico máximo. [27] Lo contrario está mal. [48]
Un operador se denomina esencialmente autoadjunto si su cierre es autoadjunto. [47]
Un operador es esencialmente autoadjunto si y solo si tiene una y solo una extensión autoadjunta. [31]
Un operador simétrico puede tener más de una extensión autoadjunta, e incluso un continuo de ellas. [33]
Un operador T simétrico y densamente definido es esencialmente autoadjunto si y solo si ambos operadores T - i , T + i tienen un rango denso. [49]
Sea T un operador densamente definido. Denotando la relación " T es una extensión de S " por S ⊂ T (una abreviatura convencional de Γ ( S ) ⊆ Γ ( T )) uno tiene lo siguiente. [50]
- Si T es simétrico, entonces T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ .
- Si T es cerrado y simétrico, entonces T = T ∗∗ ⊂ T ∗ .
- Si T es autoadjunto, entonces T = T ∗∗ = T ∗ .
- Si T es esencialmente autoadjunto, entonces T ⊂ T ∗∗ = T ∗ .
Importancia de los operadores autoadjuntos
La clase de operadores autoadjuntos es especialmente importante en física matemática. Cada operador autoadjunto está densamente definido, cerrado y simétrico. Lo contrario se aplica a los operadores acotados, pero falla en general. La autoconjunción es sustancialmente más restrictiva que estas tres propiedades. El famoso teorema espectral se aplica a los operadores autoadjuntos. En combinación con el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro , muestra que los operadores autoadjuntos son precisamente los generadores infinitesimales de grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos, ver Operador autoadjunto # Extensiones autoadjuntas en mecánica cuántica . Estos grupos unitarios son especialmente importantes para describir la evolución del tiempo en la mecánica clásica y cuántica.
Ver también
- Espacio de Hilbert # Operadores ilimitados
- Teorema de Stone-von Neumann
- Operador acotado
Notas
- ^ Reed & Simon 1980 , Notas del capítulo VIII, página 305
- ^ von Neumann, J. (1930), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (Teoría general del valor propio de los operadores funcionales hermitianos)", Mathematische Annalen , 102 (1): 49-131, doi : 10.1007 / BF01782338
- ^ Stone, Marshall Harvey (1932). Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert y sus aplicaciones al análisis. Reimpresión de la edición de 1932 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-7452-3.
- ^ von Neumann, J. (1936), "Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators)", Annals of Mathematics , Second Series, 33 (2): 294–310, doi : 10.2307 / 1968331 , JSTOR 1968331
- ↑ a b c d Pedersen , 1989 , 5.1.1
- ↑ a b c d e Pedersen , 1989 , 5.1.4
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , página 5
- ^ Supongamos f j es una secuencia en el dominio de T que converge a g ∈ X . Desde T es uniformemente continua en su dominio, Tf j es Cauchy en Y . Por lo tanto, ( f j , T f j ) es Cauchy y por lo tanto converge a algún ( f , T f ) ya que la gráfica de T es cerrada. Por tanto, f = g , y el dominio de T es cerrado.
- ↑ a b c d Pedersen , 1989 , 5.1.12
- ^ Verificar que T ∗ es lineal trivial.
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , ejemplo 3.2 en la página 16
- ^ Reed y Simon 1980 , página 252
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , ejemplo 3.1 en la página 15
- ^ Prueba: se cierra, el definido por todas partes T * está limitada, lo que implica la acotación de T ** , siendo este último el cierre de T . Véase también ( Pedersen 1989 , 2.3.11) para el caso de T definido en todas partes.
- ↑ a b c d e Pedersen , 1989 , 5.1.5
- ^ Prueba: T ** = T . Entonces, si T ∗ está acotado, entonces su adjunto T está acotado.
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , página 12
- ^ Prueba: Si T es cerrado densamente definido, entonces T ∗ existe y está densamente definido. Por tanto, T ∗∗ existe. La gráfica de T es densa en la gráfica de T ∗∗ ; por tanto, T = T ∗∗ . A la inversa, dado que la existencia de T ∗∗ implica que la de T ∗ , que a su vez implica que T está densamente definida. Dado que T ∗∗ es cerrado, T está densamente definido y cerrado.
- ^ Brezis, págs.28.
- ^ Yoshida, págs.200.
- ^ Si T es sobreyectiva, entonces T : (ker T ) ⊥ → H 2 tiene inversa acotada, denotado por S . La estimación sigue desde
- ^ Yoshida, págs. 195.
- ↑ Pedersen 1989 , 5.1.11
- ^ Yoshida, págs.193.
- ^ Yoshida, págs.196.
- ^ Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . Estados Unidos: John Wiley & Sons. Inc. p. 294. ISBN 0-471-50731-8.
- ↑ a b c d Pedersen , 1989 , 5.1.3
- ↑ Kato 1995 , 5.3.3
- ^ Sigue de ( Pedersen 1989 , 5.1.5) y la definición a través de operadores adjuntos.
- ↑ Pedersen 1989 , 5.2.5
- ↑ a b Reed & Simon 1980 , página 256
- ↑ a b Pedersen , 1989 , 5.1.16
- ^ a b c Reed & Simon 1980 , ejemplo en las páginas 257-259
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , página 25
- ↑ Pedersen , 1989 , 5.1.9
- ↑ Pedersen , 1989 , 5.3.8
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , página 89
- ↑ Pedersen 1989 , 5.3.19
- ^ Reed & Simon 1980 , ejemplo 5 en la página 254
- ↑ Pedersen 1989 , 5.2.12
- ^ Reed y Simon 1980 , página 84
- ↑ a b c d Reed & Simon 1980 , página 250
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , páginas 6, 7
- ^ Berezansky, Sheftel & Us 1996 , página 7
- ^ Reed y Simon 1980 , página 253
- ↑ Pedersen 1989 , 5.1.2
- ↑ a b Pedersen , 1989 , 5.1.6
- ↑ Pedersen 1989 , 5.2.6
- ^ Reed y Simon 1980 , página 257
- ^ Reed & Simon 1980 , páginas 255, 256
Referencias
- Berezansky, YM; Sheftel, ZG; Nosotros, GF (1996), Análisis funcional , II , Birkhäuser (ver Capítulo 12 "Teoría general de operadores ilimitados en espacios de Hilbert").
- Brezis, Haïm (1983), Analyse fonctionnelle - Théorie et applications (en francés), París: Mason
- "Operador ilimitado" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Hall, BC (2013), "Capítulo 9. Operadores autoadjuntos ilimitados", Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Kato, Tosio (1995), "Capítulo 5. Operadores en el espacio de Hilbert", Teoría de perturbaciones para operadores lineales , Clásicos en matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
- Pedersen, Gert K. (1989), Análisis ahora , Springer (consulte el Capítulo 5 "Operadores ilimitados").
- Reed, Michael ; Simon, Barry (1980), Methods of Modern Mathematical Physics , 1: Functional Analysis (edición revisada y ampliada), Academic Press (consulte el Capítulo 8 "Operadores ilimitados").
- Teschl, Gerald (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5.
- Yoshida, Kôsaku (1980), Análisis funcional (sexta ed.), Springer
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