La integración directa es un método de análisis estructural para medir el cortante interno, el momento interno, la rotación y la deflexión de una viga.
Para una viga con un peso aplicado , tomando hacia abajo como positivo, el esfuerzo cortante interno se obtiene tomando la integral negativa del peso:
El momento interno es la integral del cortante interno:
- =
El ángulo de rotación desde la horizontal,, es la integral del momento interno dividido por el producto del módulo de Young y el momento de inercia del área :
Integrando el ángulo de rotación se obtiene el desplazamiento vertical :
Integrando
Cada vez que una integración se lleva a cabo, una constante de las necesidades de integración a obtener. Estas constantes se determinan utilizando las fuerzas en los apoyos o en los extremos libres.
- Para cortante y momento internos, las constantes se pueden encontrar analizando el diagrama de cuerpo libre de la viga .
- Para la rotación y el desplazamiento, las constantes se encuentran usando condiciones que dependen del tipo de apoyos. Para una viga en voladizo, el soporte fijo tiene rotación cero y desplazamiento cero. Para una viga sostenida por un pasador y un rodillo, ambos soportes tienen desplazamiento cero.
Cálculos de muestra
Tome la viga que se muestra a la derecha sostenida por un pasador fijo a la izquierda y un rodillo a la derecha. No hay momentos aplicados, el peso es constante de 10 kN y, debido a la simetría, cada apoyo aplica una fuerza vertical de 75 kN a la viga. Tomando x como la distancia desde el pin,
Integrando,
dónde representa las cargas aplicadas. Para estos cálculos, la única carga que tiene efecto sobre la viga es la carga de 75 kN aplicada por el pasador, aplicada en x = 0, dando
Integrando la cizalla interna,
- donde, debido a que no hay momento aplicado, .
Suponiendo un valor EI de 1 kNmetrom (para simplificar, los valores reales de E I para elementos estructurales como el acero son normalmente mayores en potencias de diez)
- * y
Debido a los soportes verticales en cada extremo de la viga, el desplazamiento () en x = 0 y x = 15m es cero. Sustituyendo (x = 0, ν (0) = 0) y (x = 15m, ν (15m) = 0), podemos resolver las constantes= -1406,25 y = 0, cediendo
- y
Para el valor EI dado, el desplazamiento máximo, en x = 7,5 m, es aproximadamente 440 veces la longitud de la viga. Para una situación más realista, como una carga uniforme de 1 kN y un valor de EI de 5.000 kN · m², el desplazamiento sería de aproximadamente 13 cm.
- Tenga en cuenta que para la rotación las unidades son metros divididos por metros (o cualquier otra unidad de longitud que se reduzca a la unidad). Esto se debe a que la rotación se da como una pendiente , el desplazamiento vertical dividido por el cambio horizontal.
Ver también
Referencias
- Hibbeler, RC, Mechanics Materials, sexta edición; Pearson Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-191345-X .