La teoría de la viga de Euler-Bernoulli (también conocida como teoría de la viga del ingeniero o teoría clásica de la viga ) [1] es una simplificación de la teoría lineal de la elasticidad que proporciona un medio para calcular las características de carga y deflexión de las vigas . Cubre el caso de pequeñas deflexiones de una viga que están sometidas a cargas laterales únicamente. Por tanto, es un caso especial de la teoría del haz de Timoshenko . Se enunció por primera vez alrededor de 1750, [2] pero no se aplicó a gran escala hasta el desarrollo de la Torre Eiffel y la noria.a finales del siglo XIX. Después de estas exitosas demostraciones, rápidamente se convirtió en una piedra angular de la ingeniería y un facilitador de la Segunda Revolución Industrial .
Se han desarrollado modelos matemáticos adicionales como la teoría de placas , pero la simplicidad de la teoría de vigas la convierte en una herramienta importante en las ciencias, especialmente en la ingeniería estructural y mecánica .
Historia
El consenso predominante es que Galileo Galilei hizo los primeros intentos de desarrollar una teoría de los haces, pero estudios recientes sostienen que Leonardo da Vinci fue el primero en hacer las observaciones cruciales. Da Vinci carecía de la ley y el cálculo de Hooke para completar la teoría, mientras que Galileo se vio frenado por una suposición incorrecta que hizo. [3]
La viga Bernoulli lleva el nombre de Jacob Bernoulli , quien hizo los importantes descubrimientos. Leonhard Euler y Daniel Bernoulli fueron los primeros en armar una teoría útil alrededor de 1750. [4] En ese momento, la ciencia y la ingeniería se veían generalmente como campos muy distintos, y había muchas dudas de que se pudiera confiar en un producto matemático de la academia aplicaciones prácticas de seguridad. Los puentes y los edificios continuaron siendo diseñados con precedentes hasta finales del siglo XIX, cuando la Torre Eiffel y la Noria demostraron la validez de la teoría a gran escala.
Ecuación de haz estático
La ecuación de Euler-Bernoulli describe la relación entre la deflexión de la viga y la carga aplicada: [5]
La curva describe la deflexión de la viga en el dirección en alguna posición (recuerde que el rayo se modela como un objeto unidimensional). es una carga distribuida, en otras palabras, una fuerza por unidad de longitud (análoga a que la presión sea una fuerza por área); puede ser una función de, u otras variables. es el módulo elástico yes el segundo momento de área de la sección transversal de la viga.debe calcularse con respecto al eje que pasa por el centroide de la sección transversal y que es perpendicular a la carga aplicada. [N 1] Explícitamente, para una viga cuyo eje está orientado a lo largo de x con una carga a lo largo de z , la sección transversal de la viga está en el plano yz , y el segundo momento de área relevante es
donde se supone que el centroide de la sección transversal ocurre en y = z = 0.
A menudo, el producto (conocida como rigidez a la flexión ) es una constante, de modo que
Esta ecuación, que describe la deflexión de una viga estática uniforme, se utiliza ampliamente en la práctica de la ingeniería. Expresiones tabuladas para la desviaciónpara configuraciones de vigas comunes se pueden encontrar en manuales de ingeniería. Para las situaciones más complicadas, la deflexión puede ser determinada por la resolución de la ecuación de Euler-Bernoulli usando técnicas tales como " integración directa ", " método de Macaulay ", " método de área momento ," método de haz de conjugado ", ' el principio de trabajo virtual ', " Método de Castigliano ", " método de flexibilidad ", " método de deflexión de taludes ", " método de distribución de momentos " o " método de rigidez directa ".
Las convenciones de signos se definen aquí, ya que se pueden encontrar diferentes convenciones en la literatura. [5] En este artículo, se utiliza un sistema de coordenadas para diestros como se muestra en la figura, Flexión de una viga de Euler-Bernoulli. . Desde dónde , , y son vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y, z respectivamente, la dirección del eje y está en la figura. Fuerzas que actúan en positivo y las direcciones se asumen positivas. El signo del momento flector es positivo cuando el vector de par asociado con el momento flector en el lado derecho de la sección está en la dirección y positiva (es decir, de modo que un valor positivo de conduce a una tensión de compresión en las fibras inferiores). Con esta elección de la convención de signos de momento flector, para tener, es necesario que la fuerza cortante actuando en el lado derecho de la sección sea positivo en la dirección z para lograr el equilibrio estático de momentos. Tener equilibrio de fuerza con, la intensidad de carga debe ser positivo en la dirección z negativa. Además de estas convenciones de signos para cantidades escalares, a veces también usamos vectores en los que las direcciones de los vectores se aclaran mediante el uso de vectores unitarios,, , y .
Derivadas sucesivas de la deflexión tienen significados físicos importantes: es la pendiente de la viga,
es el momento flector en la viga, y
es la fuerza cortante en la viga.
Las tensiones en una viga se pueden calcular a partir de las expresiones anteriores después de que se haya determinado la deflexión debida a una carga determinada.
Derivación de la ecuación de flexión
Debido a la importancia fundamental de la ecuación del momento flector en ingeniería, proporcionaremos una derivación breve. Cambiamos a coordenadas polares. La longitud del eje neutro en la figura es La longitud de una fibra con una distancia radial. debajo del eje neutro está Por lo tanto, la tensión de esta fibra es
El estrés de esta fibra es dónde es el módulo elástico de acuerdo con la ley de Hooke . El vector de fuerza diferencial, resultante de este estrés viene dado por,
Este es el vector de fuerza diferencial ejercida en el lado derecho de la sección que se muestra en la figura. Sabemos que está en el dirección, ya que la figura muestra claramente que las fibras en la mitad inferior están en tensión. es el elemento diferencial de área en la ubicación de la fibra. El vector diferencial de momento flector, asociado con es dado por
Esta expresión es válida para las fibras de la mitad inferior de la viga. La expresión para las fibras en la mitad superior de la viga será similar excepto que el vector del brazo de momento estará en la dirección z positiva y el vector de fuerza estará en la dirección -x ya que las fibras superiores están en compresión. Pero el vector de momento flector resultante seguirá estando en la dirección -y ya que Por lo tanto, integramos toda la sección transversal de la viga y obtenemos el vector de momento flector ejercido en la sección transversal derecha de la viga la expresión
dónde es el segundo momento del área . Por cálculo, sabemos que cuando es pequeño como lo es para una viga de Euler-Bernoulli, podemos hacer la aproximación, (es el radio de curvatura ). Por lo tanto,
Esta ecuación vectorial se puede separar en la definición del vector unitario de flexión (M se orienta como ey) y en la ecuación de flexión:
Ecuación de haz dinámico
La ecuación dinámica del haz es la ecuación de Euler-Lagrange para la siguiente acción
El primer término representa la energía cinética donde es la masa por unidad de longitud; el segundo representa la energía potencial debida a fuerzas internas (cuando se considera con signo negativo) y el tercer término representa la energía potencial debida a la carga externa. La ecuación de Euler-Lagrange se utiliza para determinar la función que minimiza la función. Para una viga dinámica de Euler-Bernoulli, la ecuación de Euler-Lagrange es
Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange para vigas |
---|
Dado que el lagrangiano es la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es Ahora, Si se conecta a la ecuación de Euler-Lagrange se obtiene o, que es la ecuación que rige la dinámica de una viga de Euler-Bernoulli. |
Cuando el haz es homogéneo, y son independientes de , y la ecuación de la viga es más simple:
Vibración libre
En ausencia de una carga transversal, , tenemos la ecuación de vibración libre . Esta ecuación se puede resolver usando una descomposición de Fourier del desplazamiento en la suma de vibraciones armónicas de la forma
dónde es la frecuencia de vibración. Luego, para cada valor de frecuencia, podemos resolver una ecuación diferencial ordinaria
La solución general de la ecuación anterior es
dónde son constantes. Estas constantes son únicas para un conjunto dado de condiciones de contorno. Sin embargo, la solución para el desplazamiento no es única y depende de la frecuencia. Estas soluciones generalmente se escriben como
Las cantidades se denominan frecuencias naturales del haz. Cada una de las soluciones de desplazamiento se denomina modo y la forma de la curva de desplazamiento se denomina forma del modo .
Ejemplo: viga en voladizo
Las condiciones de contorno para una viga en voladizo de longitud (fijado en ) están
Si aplicamos estas condiciones, se encuentra que existen soluciones no triviales solo si Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras raíces son β 1 L / π = 0.596864 ..., β 2 L / π = 1.49418 ..., β 3 L / π = 2.50025 ..., β 4 L / π = 3.49999 ...,. ..
Las correspondientes frecuencias naturales de vibración son
Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:
La constante desconocida (en realidad constantes, ya que hay una para cada ), , que en general es compleja, está determinada por las condiciones iniciales en sobre la velocidad y los desplazamientos del haz. Normalmente un valor dese utiliza al trazar formas de modo. Las soluciones al problema de la fuerza no amortiguada tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de conducción coincide con una frecuencia natural., es decir, el rayo puede resonar . Por tanto, las frecuencias naturales de un haz corresponden a las frecuencias a las que puede producirse la resonancia .
Ejemplo: haz sin apoyo (libre)
Una viga libre es una viga sin soportes. [6] Las condiciones de contorno para una viga libre de longitud L que se extiende desde x = 0 hasta x = L están dadas por:
Si aplicamos estas condiciones, se encuentra que existen soluciones no triviales solo si
Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras raíces son β 1 L / π = 1.50562 ..., β 2 L / π = 2.49975 ..., β 3 L / π = 3.50001 ..., β 4 L / π = 4.50000 ...
Las correspondientes frecuencias naturales de vibración son:
Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:
Al igual que con la viga en voladizo, las constantes desconocidas están determinadas por las condiciones iniciales en sobre la velocidad y los desplazamientos del haz. Además, las soluciones al problema de la fuerza no amortiguada tienen desplazamientos ilimitados cuando la frecuencia de conducción coincide con una frecuencia natural..
Estrés
Además de la deflexión, la ecuación de la viga describe fuerzas y momentos y, por lo tanto, se puede utilizar para describir tensiones . Por esta razón, la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli se usa ampliamente en ingeniería , especialmente civil y mecánica, para determinar la resistencia (así como la deflexión) de las vigas bajo flexión.
Tanto el momento flector como la fuerza cortante provocan tensiones en la viga. La tensión debida a la fuerza cortante es máxima a lo largo del eje neutro de la viga (cuando el ancho de la viga, t, es constante a lo largo de la sección transversal de la viga; de lo contrario, es necesario evaluar una integral que involucre el primer momento y el ancho de la viga. para la sección transversal particular), y el esfuerzo de tracción máximo está en las superficies superior o inferior. Por lo tanto, la tensión principal máxima en la viga no puede estar ni en la superficie ni en el centro, sino en alguna área general. Sin embargo, las tensiones de fuerza cortante son insignificantes en comparación con las tensiones de momento flector en todas las vigas excepto en las más robustas, así como el hecho de que las concentraciones de tensión ocurren comúnmente en las superficies, lo que significa que es probable que la tensión máxima en una viga se encuentre en la superficie.
Doblado simple o simétrico
Para las secciones transversales de la viga que son simétricas con respecto a un plano perpendicular al plano neutro, se puede demostrar que la tensión de tracción experimentada por la viga se puede expresar como:
Aquí, es la distancia desde el eje neutro hasta un punto de interés; yes el momento flector. Tenga en cuenta que esta ecuación implica que la flexión pura (de signo positivo) causará tensión cero en el eje neutro, tensión positiva (de tracción) en la "parte superior" de la viga y tensión negativa (de compresión) en la parte inferior de la viga; y también implica que la tensión máxima estará en la superficie superior y la mínima en la parte inferior. Esta tensión de flexión puede superponerse con tensiones aplicadas axialmente, lo que provocará un desplazamiento en el eje neutro (tensión cero).
Esfuerzos máximos en una sección transversal
El esfuerzo de tracción máximo en una sección transversal está en la ubicación y el esfuerzo de compresión máximo está en la ubicación donde la altura de la sección transversal es . Estas tensiones son
Las cantidades son los módulos de sección [5] y se definen como
El módulo de sección combina toda la información geométrica importante sobre la sección de una viga en una sola cantidad. Para el caso en el que una viga es doblemente simétrica, y tenemos un módulo de sección .
Deformación en una viga de Euler-Bernoulli
Necesitamos una expresión para la deformación en términos de la deflexión de la superficie neutra para relacionar las tensiones en una viga de Euler-Bernoulli con la deflexión. Para obtener esa expresión utilizamos el supuesto de que las normales a la superficie neutra permanecen normales durante la deformación y que las deflexiones son pequeñas. Estos supuestos implican que la viga se dobla en un arco de un círculo de radio(ver Figura 1) y que la superficie neutra no cambia de longitud durante la deformación. [5]
Dejar ser la longitud de un elemento de la superficie neutra en el estado no deformado. Para pequeñas deflexiones, el elemento no cambia su longitud después de doblarse, sino que se deforma en un arco de un círculo de radio.. Si es el ángulo subtendido por este arco, entonces .
Consideremos ahora otro segmento del elemento a una distancia por encima de la superficie neutra. La longitud inicial de este elemento es. Sin embargo, después de doblar, la longitud del elemento se vuelve. La deformación en ese segmento de la viga está dada por
dónde es la curvatura de la viga. Esto nos da la deformación axial en la viga en función de la distancia desde la superficie neutra. Sin embargo, todavía necesitamos encontrar una relación entre el radio de curvatura y la desviación del haz..
Relación entre curvatura y deflexión del haz
Sea P un punto en la superficie neutra de la viga a una distancia desde el origen de la sistema coordinado. La pendiente de la viga es aproximadamente igual al ángulo formado por la superficie neutra con el-eje para los pequeños ángulos encontrados en la teoría de vigas. Por tanto, con esta aproximación,
Por lo tanto, para un elemento infinitesimal , la relación Se puede escribir como
Por tanto, la deformación en la viga puede expresarse como
Relaciones estrés-tensión
Para un material elástico lineal isotrópico homogéneo , la tensión está relacionada con la deformación por, dónde es el módulo de Young . Por tanto, la tensión en una viga de Euler-Bernoulli viene dada por
Tenga en cuenta que la relación anterior, cuando se compara con la relación entre el esfuerzo axial y el momento flector, conduce a
Dado que la fuerza cortante está dada por , también tenemos
Consideraciones de límites
La ecuación de la viga contiene una derivada de cuarto orden en . Para encontrar una solución únicanecesitamos cuatro condiciones de contorno. Las condiciones de contorno generalmente modelan apoyos , pero también pueden modelar cargas puntuales, cargas distribuidas y momentos. Las condiciones de contorno de apoyo o desplazamiento se utilizan para fijar valores de desplazamiento () y rotaciones () en el límite. Estas condiciones de contorno también se denominan condiciones de contorno de Dirichlet . Las condiciones de frontera de carga y momento implican mayores derivadas dey representan el flujo de impulso . Las condiciones de frontera de flujo también se denominan condiciones de frontera de Neumann .
Como ejemplo, considere una viga en voladizo incorporada en un extremo y libre en el otro, como se muestra en la figura adyacente. En el extremo integrado de la viga no puede haber ningún desplazamiento o rotación de la viga. Esto significa que en el extremo izquierdo tanto la deflexión como la pendiente son cero. Dado que no se aplica ningún momento flector externo en el extremo libre de la viga, el momento flector en esa ubicación es cero. Además, si no se aplica una fuerza externa a la viga, la fuerza cortante en el extremo libre también es cero.
Tomando el coordenada del extremo izquierdo como y el final correcto como (la longitud de la viga), estas declaraciones se traducen al siguiente conjunto de condiciones de contorno (suponga es una constante):
Un simple apoyo (perno o rodillo) equivale a una fuerza puntual sobre la viga que se ajusta de manera que se fije la posición de la viga en ese punto. Un soporte fijo o mordaza, equivale a la combinación de una fuerza puntual y un par puntual que se ajusta de manera que se fije tanto la posición como la pendiente de la viga en ese punto. Las fuerzas puntuales y los momentos de torsión, ya sea desde soportes o directamente aplicados, dividirán una viga en un conjunto de segmentos, entre los cuales la ecuación de la viga producirá una solución continua, dadas cuatro condiciones de contorno, dos en cada extremo del segmento. Suponiendo que el producto EI es una constante y definiendodonde F es la magnitud de una fuerza puntual, ydonde M es la magnitud de un par de torsión puntual, las condiciones de contorno apropiadas para algunos casos comunes se dan en la siguiente tabla. El cambio en una derivada particular de w a través de la frontera a medida que x aumenta se denota porseguido de esa derivada. Por ejemplo, dónde es el valor de en el límite inferior del segmento superior, mientras es el valor de en el límite superior del segmento inferior. Cuando los valores de la derivada particular no solo son continuos a través del límite, sino que también son fijos, la condición de límite se escribe, por ejemplo, que en realidad constituye dos ecuaciones separadas (p. ej., = fijo).
Perímetro Abrazadera Soporte simple Fuerza puntual Par de punto Final libre Abrazadera al final reparado reparado Extremo simplemente apoyado reparado Fuerza puntual al final Punto de torsión al final
Tenga en cuenta que en los primeros casos, en los que las fuerzas puntuales y los momentos de torsión se encuentran entre dos segmentos, hay cuatro condiciones de contorno, dos para el segmento inferior y dos para el superior. Cuando se aplican fuerzas y momentos de torsión a un extremo de la viga, se dan dos condiciones de contorno que se aplican en ese extremo. El signo de las fuerzas puntuales y los momentos de torsión en un extremo será positivo para el extremo inferior y negativo para el extremo superior.
Consideraciones de carga
Las cargas aplicadas se pueden representar mediante condiciones de contorno o mediante la función que representa una carga distribuida externa. El uso de la carga distribuida suele favorecer la simplicidad. Sin embargo, las condiciones de contorno se utilizan a menudo para modelar cargas según el contexto; esta práctica es especialmente común en el análisis de vibraciones.
Por naturaleza, la carga distribuida a menudo se representa por partes, ya que en la práctica una carga no suele ser una función continua. Las cargas puntuales se pueden modelar con la ayuda de la función delta de Dirac . Por ejemplo, considere una viga en voladizo uniforme estática de longitud con una carga puntual hacia arriba aplicado en el extremo libre. Usando condiciones de contorno, esto se puede modelar de dos maneras. En el primer enfoque, la carga puntual aplicada se aproxima mediante una fuerza cortante aplicada en el extremo libre. En ese caso, la ecuación gobernante y las condiciones de contorno son:
Alternativamente, podemos representar la carga puntual como una distribución usando la función de Dirac. En ese caso, la ecuación y las condiciones de contorno son
Tenga en cuenta que se elimina la condición de frontera de la fuerza cortante (tercera derivada); de lo contrario, habría una contradicción. Estos son problemas de valores en la frontera equivalentes , y ambos producen la solución
La aplicación de varias cargas puntuales en diferentes ubicaciones conducirá a siendo una función por partes. El uso de la función de Dirac simplifica enormemente tales situaciones; de lo contrario, la viga tendría que dividirse en secciones, cada una con cuatro condiciones de contorno resueltas por separado. Una familia bien organizada de funciones llamadas funciones de singularidad se utiliza a menudo como una abreviatura de la función de Dirac, su derivada y sus antiderivadas .
Los fenómenos dinámicos también se pueden modelar utilizando la ecuación de la viga estática eligiendo formas apropiadas de distribución de carga. Como ejemplo, la vibración libre de una viga se puede tener en cuenta mediante la función de carga:
dónde es la densidad de masa lineal de la viga, no necesariamente una constante. Con esta carga dependiente del tiempo, la ecuación de la viga será una ecuación diferencial parcial :
Otro ejemplo interesante describe la deflexión de un rayo que gira con una frecuencia angular constante de:
Esta es una distribución de fuerza centrípeta . Tenga en cuenta que en este caso,es una función del desplazamiento (la variable dependiente), y la ecuación de la viga será una ecuación diferencial ordinaria autónoma .
Ejemplos de
Doblado de tres puntos
La prueba de flexión de tres puntos es un experimento clásico de mecánica. Representa el caso de una viga apoyada sobre dos soportes de rodillos y sometida a una carga concentrada aplicada en el centro de la viga. El cortante es constante en valor absoluto: es la mitad de la carga central, P / 2. Cambia de signo en el centro de la viga. El momento flector varía linealmente desde un extremo, donde es 0, y el centro donde su valor absoluto es PL / 4, es donde el riesgo de rotura es más importante. La deformación de la viga se describe mediante un polinomio de tercer grado sobre una media viga (la otra mitad es simétrica). Los momentos de flexión), fuerzas cortantes () y deflexiones () para una viga sujeta a una carga puntual central y una carga puntual asimétrica se dan en la tabla siguiente. [5]
Distribución | Max. valor | |
---|---|---|
Viga simplemente apoyada con carga central | ||
Viga simplemente apoyada con carga asimétrica | ||
| ||
a |
Vigas en voladizo
Otra clase importante de problemas son las vigas en voladizo . Los momentos de flexión), fuerzas cortantes () y deflexiones () para una viga en voladizo sujeta a una carga puntual en el extremo libre y una carga distribuida uniformemente se dan en la tabla siguiente. [5]
Distribución | Max. valor | |
---|---|---|
Viga en voladizo con carga final | ||
Viga en voladizo con carga uniformemente distribuida | ||
Las soluciones para varias otras configuraciones comunes están disponibles en los libros de texto sobre mecánica de materiales y manuales de ingeniería.
Vigas estáticamente indeterminadas
Los momentos flectores y las fuerzas cortantes en las vigas de Euler-Bernoulli a menudo se pueden determinar directamente usando el equilibrio estático de fuerzas y momentos . Sin embargo, para ciertas condiciones de contorno, el número de reacciones puede exceder el número de ecuaciones de equilibrio independientes. [5] Estas vigas se denominan estáticamente indeterminadas .
Las vigas integradas que se muestran en la figura siguiente son estáticamente indeterminadas. Para determinar las tensiones y las deflexiones de tales vigas, el método más directo es resolver la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli con las condiciones de contorno adecuadas. Pero las soluciones analíticas directas de la ecuación de la viga son posibles solo para los casos más simples. Por lo tanto, a menudo se utilizan técnicas adicionales como la superposición lineal para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas.
El método de superposición implica sumar las soluciones de varios problemas estáticamente determinados que se eligen de modo que las condiciones de contorno para la suma de los problemas individuales se sumen a las del problema original.
(a) Carga uniformemente distribuida q . | (b) Carga distribuida linealmente con un máximo q 0 |
(c) Carga concentrada P | (d) Momento M 0 |
Otro problema de vigas estáticamente indeterminadas que se encuentra comúnmente es la viga en voladizo con el extremo libre apoyado en un rodillo. [5] Los momentos flectores, las fuerzas cortantes y las deflexiones de dicha viga se enumeran a continuación:
Distribución | Max. valor | |
---|---|---|
Extensiones
Los supuestos cinemáticos sobre los que se basa la teoría del haz de Euler-Bernoulli permiten extenderla a análisis más avanzados. La superposición simple permite una carga transversal tridimensional. El uso de ecuaciones constitutivas alternativas puede permitir la deformación de la viga viscoelástica o plástica . La teoría de vigas de Euler-Bernoulli también se puede extender al análisis de vigas curvas, pandeo de vigas, vigas compuestas y deflexión geométricamente no lineal de vigas.
La teoría de la viga de Euler-Bernoulli no tiene en cuenta los efectos de la deformación por cortante transversal . Como resultado, subestima las desviaciones y predice en exceso las frecuencias naturales. Para vigas delgadas (relaciones de longitud de viga a espesor del orden de 20 o más) estos efectos son de menor importancia. Sin embargo, para vigas gruesas, estos efectos pueden ser significativos. Se han desarrollado teorías de haz más avanzadas, como la teoría del haz de Timoshenko (desarrollada por el científico nacido en Rusia Stephen Timoshenko ) para explicar estos efectos.
Grandes deflexiones
La teoría original de Euler-Bernoulli es válida solo para deformaciones infinitesimales y pequeñas rotaciones. La teoría puede extenderse de manera sencilla a problemas que impliquen rotaciones moderadamente grandes siempre que la deformación siga siendo pequeña mediante el uso de las cepas de von Kármán . [7]
La hipótesis de Euler-Bernoulli de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje de la viga provocan desplazamientos de la forma.
Usando la definición de la deformación de Lagrangian Green de la teoría de la deformación finita , podemos encontrar las deformaciones de von Karman para la viga que son válidas para grandes rotaciones pero pequeñas deformaciones. Estas cepas tienen la forma
A partir del principio del trabajo virtual , el equilibrio de fuerzas y momentos en las vigas nos da las ecuaciones de equilibrio.
dónde es la carga axial, es la carga transversal, y
Para cerrar el sistema de ecuaciones, necesitamos las ecuaciones constitutivas que relacionan las tensiones con las deformaciones (y, por tanto, las tensiones con los desplazamientos). Para grandes rotaciones y pequeñas tensiones, estas relaciones son
dónde
La cantidad es la rigidez extensional ,es la rigidez de flexión extensional acoplada , yes la rigidez a la flexión .
Para la situación en la que la viga tiene una sección transversal uniforme y sin carga axial, la ecuación que rige para una viga de Euler-Bernoulli de rotación grande es
Ver también
- Mecánica Aplicada
- Doblado
- Momento de flexión
- Pandeo
- Rigidez a la flexión
- Teoría de la viga generalizada
- Teoría de la placa
- Teoría del sándwich
- Diagrama de corte y momento
- Función de singularidad
- Strain (ciencia de materiales)
- Teoría del haz de Timoshenko
- Teorema de los tres momentos (teorema de Clapeyron)
- Ensayo de flexión de tres puntos
Notas
- ^ Para una viga de Euler-Bernoulli que no está sometida a ninguna carga axial, este eje se denomina eje neutro .
Referencias
- ^ Timoshenko, S., (1953), Historia de la resistencia de los materiales , McGraw-Hill Nueva York
- ^ Truesdell, C., (1960), La mecánica racional de cuerpos flexibles o elásticos 1638-1788 , Venditioni Exponunt Orell Fussli Turici.
- ^ Ballarini, Roberto (18 de abril de 2003). "¿La teoría del rayo Da Vinci-Euler-Bernoulli?" . Revista de Ingeniería Mecánica en línea . Archivado desde el original el 23 de junio de 2006 . Consultado el 22 de julio de 2006 .
- ^ Seon M. Han, Haym Benaroya y Timothy Wei (22 de marzo de 1999). "Dinámica de vigas de vibración transversal utilizando cuatro teorías de ingeniería" (PDF) . Revista de sonido y vibración . Prensa académica. 225 (5): 935. Código Bibliográfico : 1999JSV ... 225..935H . doi : 10.1006 / jsvi.1999.2257 . Archivado desde el original (PDF) el 20 de julio de 2011 . Consultado el 15 de abril de 2007 .
- ^ a b c d e f g h Gere, JM y Timoshenko, SP, 1997, Mecánica de materiales , PWS Publishing Company.
- ^ Caresta, Mauro. "Vibraciones de un haz libre-libre" (PDF) . Consultado el 20 de marzo de 2019 .
- ^ Reddy, JN, (2007), Análisis de elementos finitos no lineales , Oxford University Press.
- EA Witmer (1991-1992). "Teoría elemental del haz de Bernoulli-Euler". Notas del curso de ingeniería unificada del MIT . págs. 5–114 a 5–164.
enlaces externos
- Tensión y deflexión de la viga, tablas de deflexión de la viga