Teorema de aproximación de Dirichlet

Cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales

En teoría de números , el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofántica , también llamado teorema de aproximación de Dirichlet , establece que para cualquier número real ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle N}$, con ${\displaystyle 1\leq N}$, existen enteros ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ tal que ${\displaystyle 1\leq q\leq N}$ y

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{[N]+1}}<{\frac {1}{N}}.}$

Aquí ${\displaystyle [N]}$representa la parte entera de${\displaystyle N}$. Este es un resultado fundamental en la aproximación diofántica , que muestra que cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que para un α irracional dado, la desigualdad

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

se satisface con un número infinito de números enteros p y q . Este corolario también muestra que el teorema de Thue-Siegel-Roth , un resultado en la otra dirección, proporciona esencialmente el límite más estrecho posible, en el sentido de que el límite en la aproximación racional de números algebraicos no se puede mejorar aumentando el exponente más allá de 2. Thue –El teorema de Siegel-Roth usa técnicas avanzadas de teoría de números, pero muchos números más simples como la proporción áurea ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$puede verificarse mucho más fácilmente que no es aproximable más allá del exponente 2. Este exponente se conoce como la medida de la irracionalidad .

Versión simultánea

La versión simultánea del teorema de aproximación de Dirichlet establece que dados los números reales ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}}$ y un numero natural ${\displaystyle N}$ entonces hay enteros ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{d},q\in \mathbb {Z} ,1\leq q\leq N}$ tal que ${\displaystyle \left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|\leq {\frac {1}{qN^{1/d}}}.}$

Método de prueba

Este teorema es una consecuencia del principio de casillero . Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que demostró el resultado, utilizó el mismo principio en otros contextos (por ejemplo, la ecuación de Pell ) y al nombrar el principio (en alemán) popularizó su uso, aunque su estatus en términos de libros de texto viene más tarde. ^[1] El método se extiende a la aproximación simultánea. ^[2]

Otra prueba simple del teorema de aproximación de Dirichlet se basa en el teorema de Minkowski aplicado al conjunto

${\displaystyle S=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},\vert \alpha x-y\vert \leq {\frac {1}{N}}\right\}.}$

Dado que el volumen de ${\displaystyle S}$ es mayor que ${\displaystyle 4}$, El teorema de Minkowski establece la existencia de un punto no trivial con coordenadas integrales. Esta demostración se extiende naturalmente a aproximaciones simultáneas al considerar el conjunto

${\displaystyle S=\left\{(x,y_{1},\dots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{1+d};-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},|\alpha _{i}x-y_{i}|\leq {\frac {1}{N^{1/d}}}\right\}.}$

Ver también

• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
• Teorema de Hurwitz (teoría de números)
• Conjunto Heilbronn
• Teorema de Kronecker (generalización del teorema de Dirichlet)

Notas

1. http://jeff560.tripod.com/p.html para una serie de referencias históricas.
2. "Teorema de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

• Schmidt, Wolfgang M (1980). Aproximación diofántica . Apuntes de clase en matemáticas. 785 . Saltador. doi : 10.1007 / 978-3-540-38645-2 . ISBN 978-3-540-38645-2.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Serie de libros Lecture Notes in Mathematics. 1467 . Saltador. doi : 10.1007 / BFb0098246 . ISBN 978-3-540-47374-9.

Enlaces externos

• Teorema de aproximación de Dirichlet en PlanetMath .