Densidad de Dirichlet
En matemáticas , la densidad de Dirichlet (o densidad analítica ) de un conjunto de números primos , llamado así por Peter Gustav Lejeune Dirichlet , es una medida del tamaño del conjunto que es más fácil de usar que la densidad natural .
si existiera. Tenga en cuenta que dado que como (consulte la función Prime zeta ), esto también es igual a
en s = 1, (aunque en general no es realmente un polo ya que tiene un orden no integral), al menos si esta función es una función holomórfica multiplicada por una potencia (real) de s −1 cerca de s = 1. Por ejemplo , si A es el conjunto de todos los primos, es la función zeta de Riemann la que tiene un polo de orden 1 en s = 1, por lo que el conjunto de todos los primos tiene una densidad de Dirichlet 1.
De manera más general, se puede definir la densidad de Dirichlet de una secuencia de primos (o potencias primos), posiblemente con repeticiones, de la misma manera.
entonces también tiene una densidad de Dirichlet, y las dos densidades son iguales. Sin embargo, generalmente es más fácil mostrar que un conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet, y esto es suficientemente bueno para muchos propósitos. Por ejemplo, al probar el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , es fácil demostrar que la densidad de Dirichlet de los números primos en una progresión aritmética a + nb (para a , b coprime) tiene una densidad de Dirichlet 1 / φ ( b ), que es suficiente para muestran que hay un número infinito de tales números primos, pero es más difícil demostrar que esta es la densidad natural.
En términos generales, demostrar que algún conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet distinta de cero generalmente implica mostrar que ciertas funciones L no desaparecen en el punto s = 1, mientras que demostrar que tienen una densidad natural implica demostrar que las funciones L tienen sin ceros en la línea Re ( s ) = 1.