En matemáticas , la función zeta prima es análoga a la función zeta de Riemann , estudiada por Glaisher (1891) . Se define como la siguiente serie infinita , que converge para:
Propiedades
El producto de Euler para la función zeta de Riemann ζ ( s ) implica que
que por inversión de Möbius da
Cuando s va a 1, tenemos. Esto se utiliza en la definición de densidad de Dirichlet .
Esto da la continuación de P ( s ) a, con un número infinito de singularidades logarítmicas en los puntos s donde ns es un polo (solo ns = 1 cuando n es un número libre de cuadrados mayor o igual a 1), o cero de la función zeta de Riemann ζ ( . ). La línea es un límite natural ya que las singularidades se agrupan cerca de todos los puntos de esta línea.
Si uno define una secuencia
luego
(La exponenciación muestra que esto es equivalente al Lema 2.7 de Li).
La función primo zeta está relacionada con la constante de Artin por
donde L n es el n- ésimo número de Lucas . [1]
Los valores específicos son:
s | valor aproximado P (s) | OEIS |
---|---|---|
1 | [2] | |
2 | OEIS : A085548 | |
3 | OEIS : A085541 | |
4 | OEIS : A085964 | |
5 | OEIS : A085965 | |
9 | OEIS : A085969 |
Análisis
Integral
La integral sobre la función zeta principal generalmente está anclada en el infinito, porque el polo en prohíbe definir un límite inferior agradable en algún entero finito sin entrar en una discusión sobre cortes de rama en el plano complejo:
Los valores destacables son nuevamente aquellos en los que las sumas convergen lentamente:
s | valor aproximado | OEIS |
---|---|---|
1 | OEIS : A137245 | |
2 | OEIS : A221711 | |
3 | ||
4 |
Derivado
La primera derivada es
Los valores interesantes son nuevamente aquellos en los que las sumas convergen lentamente:
s | valor aproximado | OEIS |
---|---|---|
2 | OEIS : A136271 | |
3 | OEIS : A303493 | |
4 | OEIS : A303494 | |
5 | OEIS : A303495 |
Generalizaciones
Funciones zeta casi primarias
Como la función zeta de Riemann es una suma de potencias inversas sobre los enteros y la función zeta prima es una suma de potencias inversas de los números primos, los k-primos (los enteros que son un producto de no necesariamente primos distintos) definen una especie de sumas intermedias:
dónde es el número total de factores primos .
k | s | valor aproximado | OEIS |
---|---|---|---|
2 | 2 | OEIS : A117543 | |
2 | 3 | ||
3 | 2 | OEIS : A131653 | |
3 | 3 |
Cada entero en el denominador de la función zeta de Riemann puede clasificarse por su valor del índice , que descompone la función zeta de Riemann en una suma infinita de :
Como sabemos que la serie de Dirichlet (en algún parámetro formal u ) satisface
podemos usar fórmulas para las variantes polinomiales simétricas con una función generadora del tipo del lado derecho. Es decir, tenemos la identidad de coeficiente que cuando las secuencias corresponden a dónde denota la función característica de los números primos . Usando las identidades de Newton , tenemos una fórmula general para estas sumas dada por
Los casos especiales incluyen las siguientes expansiones explícitas:
Funciones Prime modulo zeta
La construcción de la suma no sobre todos los primos, sino solo sobre los primos que están en la misma clase de módulo introduce más tipos de series infinitas que son una reducción de la función L de Dirichlet .
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "La constante de Artin" . MathWorld .
- ^ Ver divergencia de la suma de los recíprocos de los primos .
- Merrifield, CW (1881). "Las sumas de la serie de recíprocos de los números primos y de sus poderes" . Actas de la Royal Society . 33 (216–219): 4–10. doi : 10.1098 / rspl.1881.0063 . JSTOR 113877 .
- Fröberg, Carl-Erik (1968). "Sobre la función prime zeta". Nordisk Tidskr. Manejo de información (BIT) . 8 (3): 187–202. doi : 10.1007 / BF01933420 . Señor 0236123 . S2CID 121500209 .
- Glaisher, JWL (1891). "Sobre las sumas de potencias inversas de los números primos". Cuarto de galón. J. Math . 25 : 347–362.
- Mathar, Richard J. (2008). "Veinte dígitos de algunas integrales de la función zeta prima". arXiv : 0811.4739 [ matemáticas.NT ].
- Li, Ji (2008). "Primeras gráficas y composición exponencial de especies". J. Comb. Una teoría . 115 (8): 1374–1401. arXiv : 0705.0038 . doi : 10.1016 / j.jcta.2008.02.008 . Señor 2455584 . S2CID 6234826 .
- Mathar, Richard J. (2010). "Tabla de funciones de Dirichlet L-series y prime zeta modulo para pequeños módulos". arXiv : 1008.2547 [ matemáticas.NT ].
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Prime Zeta Function" . MathWorld .