Mapa lineal discontinuo

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En matemáticas , los mapas lineales forman una clase importante de funciones "simples" que conservan la estructura algebraica de los espacios lineales y, a menudo, se utilizan como aproximaciones a funciones más generales (ver aproximación lineal ). Si los espacios involucrados también son espacios topológicos (es decir, espacios vectoriales topológicos ), entonces tiene sentido preguntar si todos los mapas lineales son continuos . Resulta que para mapas definidos en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (por ejemplo, espacios normados de dimensión infinita ), la respuesta generalmente es no: existen mapas lineales discontinuos. Si el dominio de definición es completo , es más complicado; se puede demostrar que tales mapas existen, pero la prueba se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito.

Sean X e Y dos espacios normados y un mapa lineal de X a Y. Si X es de dimensión finita , elija una base en X que pueda tomarse como vectores unitarios. Entonces,${\ estilo de visualización f: X \ a Y}$${\displaystyle \left(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\right)}$

Si X es de dimensión infinita, esta prueba fallará ya que no hay garantía de que exista el supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, el único mapa entre X e Y es el mapa cero que es trivialmente continuo. En todos los demás casos, cuando X es de dimensión infinita e Y no es el espacio cero, se puede encontrar un mapa discontinuo de X a Y.

Los ejemplos de mapas lineales discontinuos son fáciles de construir en espacios que no están completos; en cualquier secuencia de Cauchy de vectores linealmente independientes que no tiene límite, hay un operador lineal tal que las cantidades crecen sin límite. En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "agujeros".${\displaystyle e_{yo}}$${\ estilo de visualización T}$${\displaystyle \|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|}$

Por ejemplo, considere el espacio X de funciones suaves de valor real en el intervalo [0, 1] con la norma uniforme , es decir,

como en lugar de lo que sería válido para un mapa continuo. Tenga en cuenta que T tiene un valor real, por lo que en realidad es un funcional lineal en X (un elemento del espacio dual algebraico X ^* ). El mapa lineal X → X que asigna a cada función su derivada es igualmente discontinuo. Tenga en cuenta que aunque el operador derivada no es continuo, es cerrado .${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle T(f_{n})\to T(0)=0}$

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