En matemáticas , más precisamente en la teoría de la medida , una medida en la línea real se llama medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue ) si se concentra en un conjunto contable como máximo . Tenga en cuenta que el soporte no necesita ser un conjunto discreto . Geométricamente, una medida discreta (en la línea real, con respecto a la medida de Lebesgue) es una colección de masas puntuales.
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Definición y propiedades
Una medida definido en los conjuntos mensurables de Lebesgue de la línea real con valores ense dice que es discreto si existe una secuencia (posiblemente finita) de números
tal que
El ejemplo más simple de una medida discreta en la línea real es la función delta de Dirac Uno tiene y
De manera más general, si es una secuencia (posiblemente finita) de números reales, es una secuencia de números en de la misma longitud, se pueden considerar las medidas de Dirac definido por
para cualquier conjunto medible de Lebesgue Entonces, la medida
es una medida discreta. De hecho, se puede probar que cualquier medida discreta en la línea real tiene esta forma para secuencias elegidas apropiadamente y
Extensiones
Se puede extender la noción de medidas discretas a espacios de medida más generales . Dado un espacio medible y dos compases y en eso, se dice que es discreto con respecto a si existe un subconjunto como máximo contable de tal que
- Todos los singletons con en son medibles (lo que implica que cualquier subconjunto de es medible)
Observe que los dos primeros requisitos siempre se satisfacen para un subconjunto contable como máximo de la línea real si es la medida de Lebesgue, por lo que no eran necesarios en la primera definición anterior.
Como en el caso de las medidas en la línea real, una medida en es discreto con respecto a otra medida en el mismo espacio si y solo si tiene la forma
dónde los singletons estan en y ellos la medida es 0.
También se puede definir el concepto de discreción para medidas firmadas . Entonces, en lugar de las condiciones 2 y 3 anteriores, uno debería preguntar que ser cero en todos los subconjuntos medibles de y ser cero en subconjuntos medibles de
Referencias
- Kurbatov, VG (1999). Operadores y ecuaciones diferenciales funcionales . Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-5624-1.
enlaces externos
- AP Terekhin (2001) [1994], "Medida discreta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press