En matemáticas , una medida de Dirac asigna un tamaño a un conjunto basándose únicamente en si contiene un elemento fijo x o no. Es una forma de formalizar la idea de la función delta de Dirac , una herramienta importante en la física y otros campos técnicos.
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Definición
Una medida de Dirac es una medida δ x en un conjunto X (con cualquier σ -álgebra de subconjuntos de X ) definido para un x ∈ X dado y cualquier conjunto (medible) A ⊆ X por
donde 1 A es la función indicadora de A .
La medida de Dirac es una medida de probabilidad , y en términos de probabilidad que representa la casi segura resultado x en el espacio muestral X . También podemos decir que la medida es un solo átomo en x ; sin embargo, tratar la medida de Dirac como una medida atómica no es correcto cuando consideramos la definición secuencial del delta de Dirac, como el límite de una secuencia delta . Las medidas de Dirac son los puntos extremos del conjunto convexo de medidas de probabilidad de X .
El nombre es una formación posterior de la función delta de Dirac , considerada como una distribución de Schwartz , por ejemplo en la línea real ; Se pueden tomar medidas para ser un tipo especial de distribución. La identidad
que, en la forma
se toma a menudo como parte de la definición de la "función delta", se mantiene como un teorema de la integración de Lebesgue .
Propiedades de la medida de Dirac
Sea δ x la medida de Dirac centrada en algún punto fijo x en algún espacio medible ( X , Σ) .
- δ x es una medida de probabilidad y, por tanto, una medida finita .
Supongamos que ( X , T ) es un espacio topológico y que Σ es al menos tan bien como el Borel σ -álgebra σ ( T ) en X .
- δ x es una medida estrictamente positiva si y solo si la topología T es tal que x se encuentra dentro de cada conjunto abierto no vacío, por ejemplo, en el caso de la topología trivial {∅, X } .
- Dado que δ x es una medida de probabilidad, también es una medida localmente finita .
- Si X es un espacio topológico de Hausdorff con su álgebra σ de Borel , entonces δ x satisface la condición de ser una medida regular interna , ya que los conjuntos singleton como { x } son siempre compactos . Por lo tanto, δ x también es una medida de radón .
- Suponiendo que la topología T es lo suficientemente fina como para que { x } sea cerrada, que es el caso en la mayoría de las aplicaciones, el soporte de δ x es { x } . (De lo contrario, sup ( δ x ) es el cierre de { x } en ( X , T ) .) Además, δ x es la única medida de probabilidad cuyo soporte es { x } .
- Si X es un espacio euclidiano n- dimensional R n con su σ -álgebra habitual y su medida n- dimensional de Lebesgue λ n , entonces δ x es una medida singular con respecto a λ n : simplemente descomponga R n como A = R n \ { x } y B = { x } y observe que δ x ( A ) = λ n ( B ) = 0 .
- La medida de Dirac es una medida sigma-finita
Generalizaciones
Una medida discreta es similar a la medida de Dirac, excepto que se concentra en muchos puntos contables en lugar de en un solo punto. Más formalmente, una medida en la línea real se llama medida discreta (con respecto a la medida de Lebesgue ) si su apoyo es como máximo un conjunto contable .
Ver también
Referencias
- Dieudonné, Jean (1976). "Ejemplos de medidas". Tratado de análisis, parte 2 . Prensa académica. pag. 100. ISBN 0-12-215502-5.
- Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definición, δ ". Análisis y aplicaciones de armónicos . Prensa CRC. pag. 72. ISBN 0-8493-7879-6.