Espectro discreto (matemáticas)

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En matemáticas, específicamente en teoría espectral , un espectro discreto de un operador lineal cerrado se define como el conjunto de puntos aislados de su espectro de manera que el rango del correspondiente proyector de Riesz es finito.

Se dice que un punto en el espectro de un operador lineal cerrado en el espacio de Banach con dominio pertenece al espectro discreto de si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[1]${\ Displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (A)}$ ${\ Displaystyle A: \, {\ mathfrak {B}} \ to {\ mathfrak {B}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {D}} (A) \ subconjunto {\ mathfrak {B}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {disco}} (A)}$${\ Displaystyle A}$

Aquí está el operador de identidad en el espacio de Banach y es una curva suave simple cerrada orientada en sentido antihorario que delimita una región abierta tal que es el único punto del espectro de en el cierre de ; es decir,${\ Displaystyle I _ {\ mathfrak {B}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ Displaystyle \ Gamma \ subconjunto \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ sigma (A) \ cap {\ overline {\ Omega}} = \ {\ lambda \}.}$

El espectro discreto coincide con el conjunto de valores propios normales de :${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {disco}} (A)}$${\ Displaystyle A}$

En general, el rango de la proyector Riesz puede ser mayor que la dimensión de la lineal de la raíz del valor propio correspondiente y, en particular, es posible tener , . Entonces, existe la siguiente inclusión:${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda}}$${\displaystyle \mathrm {dim} \,{\mathfrak {L}}_{\lambda }<\infty }$${\displaystyle \mathrm {rank} \,P_{\lambda }=\infty }$

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