En matemáticas , particularmente en análisis funcional , el espectro de un operador lineal acotado (o, más generalmente, un operador lineal ilimitado ) es una generalización del conjunto de valores propios de una matriz . Específicamente, se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador lineal acotado T sino es invertible , donde I es el operador de identidad . El estudio de espectros y propiedades relacionadas se conoce como teoría espectral , que tiene numerosas aplicaciones, entre las que destaca la formulación matemática de la mecánica cuántica .
El espectro de un operador en un espacio vectorial de dimensión finita es precisamente el conjunto de valores propios. Sin embargo, un operador en un espacio de dimensión infinita puede tener elementos adicionales en su espectro y puede no tener valores propios. Por ejemplo, considere el operador de desplazamiento derecho R en el espacio de Hilbert ℓ 2 ,
Esto no tiene valores propios, ya que si Rx = λx entonces al expandir esta expresión vemos que x 1 = 0, x 2 = 0, etc. Por otro lado, 0 está en el espectro porque el operador R - 0 (es decir, R mismo ) no es invertible: no es sobreyectiva ya que cualquier vector con un primer componente distinto de cero no está en su rango. De hecho, todo operador lineal acotado en un espacio de Banach complejo debe tener un espectro no vacío.
La noción de espectro se extiende a los operadores ilimitados . En este caso, se dice que un número complejo λ está en el espectro de un operador definido en el dominio si no hay inversa acotada . Si T es un operador cerrado (que incluye el caso de que T es un operador acotado), la acotación de tales inversos sigue automáticamente si el inverso existe en absoluto.
El espacio de operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X es un ejemplo de un álgebra de Banach unital . Dado que la definición del espectro no menciona ninguna propiedad de B ( X ) excepto las que tiene cualquier álgebra, la noción de espectro puede generalizarse a este contexto usando la misma definición literalmente.
Espectro de un operador acotado
Definición
Dejar ser un operador lineal acotado que actúa sobre un espacio de Banach sobre el complejo campo escalar , y ser el operador de identidad en. El espectro de es el conjunto de todos para lo cual el operador no tiene un inverso que sea un operador lineal acotado.
Desde es un operador lineal, el inverso es lineal si existe; y, por el teorema de la inversa acotada , está acotado. Por tanto, el espectro consta precisamente de esos escalares para cual no es biyectiva .
El espectro de un operador dado a menudo se denota , y su complemento, el conjunto resolutivo , se denota. ( a veces se utiliza para denotar el radio espectral de )
Relación con los valores propios
Si es un valor propio de , luego el operador no es uno a uno, y por lo tanto su inverso no está definido. Sin embargo, el enunciado inverso no es cierto: el operador puede no tener una inversa, incluso si no es un valor propio. Por tanto, el espectro de un operador siempre contiene todos sus valores propios, pero no se limita a ellos.
Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert , que consta de todas las secuencias bi-infinitas de números reales
que tienen una suma finita de cuadrados . El operador de turno bilateralsimplemente desplaza cada elemento de la secuencia en una posición; es decir, si luego por cada entero . La ecuación del valor propio no tiene solución en este espacio, ya que implica que todos los valores tienen el mismo valor absoluto (si ) o son una progresión geométrica (si ); de cualquier manera, la suma de sus cuadrados no sería finita. Sin embargo, el operador no es invertible si . Por ejemplo, la secuencia tal que es en ; pero no hay secuencia en tal que (es decir, para todos ).
Propiedades básicas
El espectro de un operador acotado T es siempre un subconjunto cerrado , acotado y no vacío del plano complejo .
Si el espectro estuviera vacío, entonces la función resolutiva
estaría definido en todas partes en el plano complejo y acotado. Pero se puede demostrar que la función resolutiva R es holomórfica en su dominio. Según la versión con valores vectoriales del teorema de Liouville , esta función es constante, por lo que en todas partes es cero, ya que es cero en el infinito. Esto sería una contradicción.
La delimitación del espectro se deriva de la expansión de la serie de Neumann en λ ; el espectro σ ( T ) está limitado por || T ||. Un resultado similar muestra la cercanía del espectro.
El límite || T || en el espectro se puede refinar un poco. El radio espectral , r ( T ), de T es el radio del círculo más pequeño en el plano complejo que está centrado en el origen y contiene el espectro σ ( T ) dentro de él, es decir
La fórmula del radio espectral dice [1] que para cualquier elementode un álgebra de Banach ,
Espectro de un operador ilimitado
Se puede ampliar la definición de espectro para operadores ilimitados en un espacio de Banach X , operadores que ya no son elementos del álgebra de Banach B ( X ). Se procede de manera similar al caso acotado.
Definición
Sea X un espacio de Banach yser un operador lineal en X definido en el dominio. Se dice que un número complejo λ está en el conjunto resolutivo , es decir, el complemento del espectro de un operador lineal
si el operador
tiene un inverso acotado, es decir, si existe un operador acotado
tal que
Entonces, un número complejo λ está en el espectro si esta propiedad no se cumple.
Para que λ esté en el resolutivo (es decir, no en el espectro), al igual que en el caso acotado,debe ser biyectiva, ya que debe tener una inversa de dos caras. Como antes, si existe una inversa, entonces su linealidad es inmediata, pero en general puede no estar acotada, por lo que esta condición debe verificarse por separado.
Sin embargo, la acotación de la inversa se sigue directamente de su existencia si se introduce el supuesto adicional de que T es cerrado ; esto se sigue del teorema del grafo cerrado . Entonces, al igual que en el caso acotado, un número complejo λ se encuentra en el espectro de un operador cerrado T si y solo sino es biyectiva. Tenga en cuenta que la clase de operadores cerrados incluye todos los operadores acotados.
Propiedades básicas
El espectro de un operador ilimitado es en general un subconjunto cerrado, posiblemente vacío, del plano complejo. Si el operador T no está cerrado , entonces.
Clasificación de puntos en el espectro
Un operador acotado T en un espacio de Banach es invertible, es decir, tiene un inverso acotado, si y solo si T está acotado por debajo y tiene un rango denso. En consecuencia, el espectro de T se puede dividir en las siguientes partes:
- Si no está delimitado por debajo. En particular, este es el caso sino es inyectivo, es decir, λ es un valor propio. El conjunto de valores propios se denomina espectro de puntos de T y se denota por σ p ( T ). Alternativamente,podría ser uno a uno pero aún no delimitado por debajo. Tal λ no es un autovalor, sino un autovalor aproximado de T (los autovalores en sí mismos también son autovalores aproximados). El conjunto de valores propios aproximados (que incluye el espectro de puntos) se denomina espectro de puntos aproximados de T , denotado por σ ap ( T ).
- Si no tiene un rango denso. El conjunto de tales λ se denomina espectro de compresión de T , denotado por. Sino tiene un rango denso pero es inyectivo, se dice que λ está en el espectro residual de T , denotado por.
Tenga en cuenta que el espectro de puntos aproximado y el espectro residual no son necesariamente disjuntos (sin embargo, el espectro de puntos y el espectro residual sí lo son).
Las siguientes subsecciones proporcionan más detalles sobre las tres partes de σ ( T ) descritas anteriormente.
Espectro de puntos
Si un operador no es inyectivo (por lo que hay algo de x distinto de cero con T ( x ) = 0), entonces claramente no es invertible. Entonces, si λ es un valor propio de T , uno necesariamente tiene λ ∈ σ ( T ). El conjunto de valores propios de T también se denomina espectro de puntos de T , denotado por σ p ( T ).
Espectro de puntos aproximado
De manera más general, según el teorema de la inversa acotada , T no es invertible si no está acotado por debajo; es decir, si no hay c > 0 tal que || Tx || ≥ c || x || para todos x ∈ X . Por tanto, el espectro incluye el conjunto de valores propios aproximados , que son aquellos λ tales que T - λI no está acotado por debajo; de manera equivalente, es el conjunto de λ para el que existe una secuencia de vectores unitarios x 1 , x 2 , ... para el cual
- .
El conjunto de valores propios aproximados se conoce como espectro de puntos aproximados , denotado por.
Es fácil ver que los valores propios se encuentran en el espectro de puntos aproximados.
Por ejemplo, considere el cambio derecho R en definido por
dónde es la base ortonormal estándar en . El cálculo directo muestra que R no tiene valores propios, pero cada λ con | λ | = 1 es un valor propio aproximado; dejando que x n sea el vector
uno puede ver eso || x n || = 1 para todos los n , pero
Dado que R es un operador unitario, su espectro se encuentra en el círculo unitario. Por lo tanto, el espectro de puntos aproximados de R es todo su espectro.
Esta conclusión también es cierta para una clase más general de operadores. Un operador unitario es normal . Según el teorema espectral , un operador acotado en un espacio de Hilbert H es normal si y solo si es equivalente (después de la identificación de H con un espacio L ^ 2) a un operador de multiplicación . Se puede demostrar que el espectro de puntos aproximados de un operador de multiplicación acotado es igual a su espectro.
Espectro continuo
El conjunto de todos los λ para los quees inyectivo y tiene un rango denso, pero no es sobreyectivo, se llama espectro continuo de T , denotado por. Por tanto, el espectro continuo consta de aquellos valores propios aproximados que no son valores propios y no se encuentran en el espectro residual. Es decir,
- .
Por ejemplo, , , , es inyectable y tiene un rango denso, pero . De hecho, si con tal que , uno no necesariamente tiene , y entonces .
Espectro de compresión
El conjunto de para cual no tiene un rango denso se conoce como el espectro de compresión de T y se denota por.
Espectro residual
El conjunto de para cual es inyectivo pero no tiene un rango denso se conoce como el espectro residual de T y se denota por:
Un operador puede ser inyectivo, incluso limitado por debajo, pero aún no invertible. El turno correcto en, , , es un ejemplo. Este operador de cambio es una isometría , por lo tanto, delimitado por debajo de 1. Pero no es invertible ya que no es sobreyectiva (), y además no es denso en ().
Espectro periférico
El espectro periférico de un operador se define como el conjunto de puntos en su espectro que tienen un módulo igual a su radio espectral. [2]
Espectro discreto
El espectro discreto se define como el conjunto de valores propios normales . De manera equivalente, se puede caracterizar como el conjunto de puntos aislados del espectro de manera que el correspondiente proyector de Riesz sea de rango finito.
Espectro esencial
Hay cinco definiciones similares del espectro esencial de operador lineal cerrado densamente definido que satisfacen
Todos estos espectros , coinciden en el caso de operadores autoadjuntos.
- El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es semi-Fredholm . (El operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o cokernel (o ambos) es de dimensión finita).
Ejemplo 1: para el operador , (porque el rango de este operador no es cerrado: el rango no incluye todos los aunque su cierre lo hace).
Ejemplo 2: por , para cualquier (porque tanto el kernel como el cokernel de este operador son de dimensión infinita). - El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro de modo que el operador tiene un kernel de dimensión infinita o tiene un rango que no es cerrado. También se puede caracterizar en términos del criterio de Weyl : existe una secuencia en el espacio X tal que, y tal que no contiene ninguna subsecuencia convergente . Tal secuencia se llama secuencia singular (o secuencia de Weyl singular ).
Ejemplo: para el operador , si j es par ycuando j es impar (el kernel es de dimensión infinita; el cokernel es de dimensión cero). Tenga en cuenta que. - El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es Fredholm . (El operador es Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su cokernel son de dimensión finita).
Ejemplo: para el operador , (el núcleo es de dimensión cero, el cokernel es de dimensión infinita). Tenga en cuenta que. - El espectro esencial se define como el conjunto de puntos del espectro tal que no es Fredholm de índice cero. También podría caracterizarse como la mayor parte del espectro de A que se conserva mediante perturbaciones compactas . En otras palabras,; aquídenota el conjunto de todos los operadores compactos en X .
Ejemplo: dónde es el operador de turno correcto, , por (su núcleo es cero, su cokernel es unidimensional). Tenga en cuenta que. - El espectro esencial es la unión de con todos los componentes de que no se cruzan con el conjunto resolutivo . También se puede caracterizar como.
Ejemplo: considere el operador, por , . Desde, uno tiene . Para cualquier con , el rango de es denso pero no cerrado, por lo tanto, el límite del disco unitario está en el primer tipo del espectro esencial: . Para cualquier con , tiene un rango cerrado, kernel unidimensional y cokernel unidimensional, por lo que aunque por ; por lo tanto, por . Hay dos componentes de: y . El componenteno tiene intersección con el conjunto resolutivo; por definición,.
Ejemplo: átomo de hidrógeno
El átomo de hidrógeno proporciona un ejemplo de diferentes tipos de espectros. El operador hamiltoniano del átomo de hidrógeno , , con dominio tiene un conjunto discreto de valores propios (el espectro discreto , que en este caso coincide con el espectro de puntos dado que no hay valores propios incrustados en el espectro continuo) que puedan calcularse mediante la fórmula de Rydberg . Sus funciones propias correspondientes se denominan estados propios o estados ligados . El resultado final del proceso de ionización se describe mediante la parte continua del espectro (la energía de la colisión / ionización no está "cuantificada"), representada por (también coincide con el espectro esencial, ). [ cita requerida ]
Espectro del operador adjunto
Sea X un espacio de Banach yun operador lineal cerrado con dominio denso. Si X * es el espacio dual de X , yes el adjunto hermitiano de T , entonces
Teorema Para un operador T acotado (o, más generalmente, cerrado y densamente definido) ,.
Dejar . EntoncesNo es denso en X . Según el teorema de Hahn-Banach , existe un valor distinto de cero que se desvanece en . Para todo x ∈ X ,
Por lo tanto, y es un valor propio de T * . Esto muestra la inclusión anterior.
Luego suponga que con , , es decir
Si es denso en X , entonces φ debe ser el cero funcional, una contradicción. La afirmación está probada.
También obtenemos por el siguiente argumento: X incrusta isométricamente en X ** . Por lo tanto, para cada elemento distinto de cero en el kernel deexiste un elemento distinto de cero en X ** que desaparece en. Por lo tanto no puede ser denso.
Además, si X es reflexivo, tenemos.
Espectros de clases particulares de operadores
Operadores compactos
Si T es un operador compacto o, más generalmente, un operador no esencial , entonces se puede demostrar que el espectro es contable, que cero es el único punto de acumulación posible y que cualquier λ distinto de cero en el espectro es un valor propio.
Operadores cuasinilpotentes
Un operador acotado es cuasinilpotente si como (en otras palabras, si el radio espectral de A es igual a cero). Dichos operadores podrían caracterizarse de manera equivalente por la condición
Un ejemplo de tal operador es , por .
Operadores autoadjuntos
Si X es un espacio de Hilbert y T es un operador autoadjunto (o, más generalmente, un operador normal ), entonces un resultado notable conocido como teorema espectral da un análogo del teorema de diagonalización para operadores normales de dimensión finita (matrices hermitianas , por ejemplo).
Para los operadores autoadjuntos, se pueden utilizar medidas espectrales para definir una descomposición del espectro en partes singulares, puntuales y absolutamente continuas.
Espectro de un operador real
Las definiciones de resolutivo y espectro pueden extenderse a cualquier operador lineal continuo. actuando en un espacio de Banach sobre el campo real (en lugar del campo complejo ) a través de su complexificación . En este caso definimos el conjunto resolutivo como el conjunto de todos tal que es invertible como un operador que actúa sobre el espacio complexificado ; entonces definimos.
Espectro real
El espectro real de un operador lineal continuo. actuando en un espacio real de Banach , denotado , se define como el conjunto de todos para cual no es invertible en el álgebra real de operadores lineales acotados que actúan sobre . En este caso tenemos. Tenga en cuenta que el espectro real puede coincidir o no con el espectro complejo. En particular, el espectro real podría estar vacío.
Espectro de un álgebra de Banach unital
Sea B un álgebra de Banach compleja que contiene una unidad e . Luego definimos el espectro σ ( x ) (o de forma más explícita σ B ( x )) de un elemento x de B a ser el conjunto de esos números complejos lambda para los que λe - x no es invertible en B . Esto amplía la definición de los operadores lineales acotados B ( X ) en un espacio de Banach X , ya que B ( X ) es un álgebra de Banach.
Ver también
- Espectro esencial
- Espectro discreto (matemáticas)
- Operador autoadjunto
- Pseudoespectro
- Conjunto de solvente
Referencias
- ^ Teorema 3.3.3 de Kadison y Ringrose, 1983, Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores, vol. I: Elementary Theory , Nueva York: Academic Press, Inc.
- ^ Zaanen, Adriaan C. (2012). Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz . Springer Science & Business Media. pag. 304. ISBN 9783642606373. Consultado el 8 de septiembre de 2017 .
- Dales et al., Introducción a las álgebras de Banach, operadores y análisis armónico , ISBN 0-521-53584-0
- "Espectro de un operador" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]