En álgebra lineal , un vector propio generalizado de unmatrizes un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . [1]
Un vector propio generalizado correspondiente a , junto con la matriz generar una cadena de Jordan de vectores propios generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de. [5] [6] [7]
Usando autovectores generalizados, un conjunto de autovectores linealmente independientes de puede extenderse, si es necesario, a una base completa para . [8] Esta base se puede utilizar para determinar una "matriz casi diagonal".en forma normal de Jordan , similar a, que es útil para calcular ciertas funciones matriciales de. [9] La matriztambién es útil para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales dónde no necesita ser diagonalizable. [10] [11]
La dimensión del espacio propio generalizado correspondiente a un valor propio dado es la multiplicidad algebraica de . [12]
Resumen y definición
Hay varias formas equivalentes de definir un vector propio ordinario . [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] Para nuestros propósitos, un vector propio asociado con un valor propio de una × matriz es un vector distinto de cero para el cual , dónde es el × matriz de identidad yes el vector cero de longitud. [21] Es decir,está en el núcleo de la transformación. Si posee vectores propios linealmente independientes, entonces es similar a una matriz diagonal . Es decir, existe una matriz invertible tal que es diagonalizable a través de la transformación de similitud . [22] [23] La matrizse llama matriz espectral para. La matrizse llama matriz modal para. [24] Las matrices diagonalizables son de particular interés ya que sus funciones matriciales se pueden calcular fácilmente. [25]
Por otro lado, si no tiene vectores propios linealmente independientes asociados con él, entonces no es diagonalizable. [26] [27]
Definición: un vectores un vector propio generalizado de rango m de la matriz y correspondiente al valor propio Si
pero
[28]
Claramente, un autovector generalizado de rango 1 es un autovector ordinario. [29] Cada × matriz posee vectores propios generalizados linealmente independientes asociados con él y se puede demostrar que son similares a una matriz "casi diagonal" en forma normal de Jordan. [30] Es decir, existe una matriz invertible tal que . [31] La matrizen este caso se llama matriz modal generalizada para. [32] Si es un valor propio de multiplicidad algebraica , luego tendrá vectores propios generalizados linealmente independientes correspondientes a . [33] Estos resultados, a su vez, proporcionan un método sencillo para calcular ciertas funciones matriciales de. [34]
Nota: para un matriz sobre un campo expresarse en la forma normal de Jordan, todos los valores propios de debe estar en . Es decir, el polinomio característico debe factorizar completamente en factores lineales. Por ejemplo, sitiene elementos de valor real , entonces puede ser necesario que los valores propios y los componentes de los vectores propios tengan valores complejos . [35] [36] [37]
El conjunto abarcado por todos los vectores propios generalizados para un determinado, forma el espacio propio generalizado para. [38]
Ejemplos de
A continuación se muestran algunos ejemplos para ilustrar el concepto de vectores propios generalizados. Algunos de los detalles se describirán más adelante.
Ejemplo 1
Este ejemplo es simple pero ilustra claramente el punto. Este tipo de matriz se utiliza con frecuencia en los libros de texto. [39] [40] [41] Supongamos
Entonces solo hay un valor propio, , y su multiplicidad algebraica es m = 2.
Observe que esta matriz tiene la forma normal de Jordan, pero no es diagonal . Por tanto, esta matriz no es diagonalizable. Dado que hay una entrada superdiagonal , habrá un vector propio generalizado de rango mayor que 1 (o se podría notar que el espacio vectoriales de dimensión 2, por lo que puede haber como máximo un vector propio generalizado de rango superior a 1). Alternativamente, se podría calcular la dimensión del espacio nulo desiendo p = 1, y por lo tanto no son m - p = 1 vectores propios generalizados de mayor rango de 1.
El vector propio ordinario se calcula como de costumbre (consulte la página de vectores propios para ver ejemplos). Usando este autovector, calculamos el autovector generalizado resolviendo
Escribiendo los valores:
Esto simplifica a
El elemento no tiene restricciones. El vector propio generalizado de rango 2 es entonces, donde a puede tener cualquier valor escalar. La elección de a = 0 suele ser la más sencilla.
Tenga en cuenta que
así que eso es un vector propio generalizado,
así que eso es un vector propio ordinario, y que y son linealmente independientes y, por lo tanto, constituyen una base para el espacio vectorial .
Ejemplo 2
Este ejemplo es más complejo que el Ejemplo 1 . Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden inferior. [42] La matriz
tiene valores propios y con multiplicidades algebraicas y , pero multiplicidades geométricas y .
Los espacios propios generalizados de se calculan a continuación. es el vector propio ordinario asociado con . es un vector propio generalizado asociado con . es el vector propio ordinario asociado con . y son vectores propios generalizados asociados con .
Esto da como resultado una base para cada uno de los espacios propios generalizados de. Juntas, las dos cadenas de vectores propios generalizados abarcan el espacio de todos los vectores columna de 5 dimensiones.
Una matriz "casi diagonal" en forma normal de Jordan , similar a se obtiene de la siguiente manera:
dónde es una matriz modal generalizada para, las columnas de son una base canónica para, y . [43]
Cadenas de Jordan
Definición: Letser un vector propio generalizado de rango m correspondiente a la matriz y el valor propio . La cadena generada por es un conjunto de vectores dada por
( 1 )
Así, en general,
( 2 )
El vector , dado por ( 2 ), es un autovector generalizado de rango j correspondiente al autovalor. Una cadena es un conjunto de vectores linealmente independientes. [44]
Base canónica
Definición: Un conjunto de n vectores propios generalizados linealmente independientes es una base canónica si está compuesto enteramente por cadenas de Jordan.
Por lo tanto, una vez que hemos determinado que un vector propio generalizado de rango m tiene una base canónica, se deduce que los vectores m - 1 que están en la cadena de Jordan generados por también están en la base canónica. [45]
Dejar ser un valor propio de de multiplicidad algebraica . Primero, encuentre los rangos (rangos de la matriz) de las matrices. El enterose determina que es el primer número entero para el que tiene rango ( siendo n el número de filas o columnas de, es decir, es n × n ).
Ahora define
La variable designa el número de autovectores generalizados linealmente independientes de rango k correspondientes al autovalor que aparecerá en una base canónica para . Tenga en cuenta que
. [46]
Cálculo de autovectores generalizados
En las secciones anteriores hemos visto técnicas para obtener la vectores propios generalizados linealmente independientes de una base canónica para el espacio vectorial asociado con un matriz . Estas técnicas se pueden combinar en un procedimiento:
Resuelve la ecuación característica de para valores propios y sus multiplicidades algebraicas ;
Para cada
Determinar ;
Determinar ;
Determinar por ;
Determine cada cadena de Jordan para ;
Ejemplo 3
La matriz
tiene un valor propio de multiplicidad algebraica y un valor propio de multiplicidad algebraica . También tenemos. Para tenemos .
El primer entero para cual tiene rango es .
Ahora definimos
En consecuencia, habrá tres vectores propios generalizados linealmente independientes; uno de cada uno de los rangos 3, 2 y 1. Dado que corresponde a una sola cadena de tres autovectores generalizados linealmente independientes, sabemos que hay un autovector generalizado del rango 3 correspondiente a tal que
( 3 )
pero
( 4 )
Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) representan sistemas lineales que pueden resolverse para. Dejar
Luego
y
Por tanto, para satisfacer las condiciones ( 3 ) y ( 4 ), debemos tener y . No se imponen restricciones a y . Por elección, obtenemos
como un vector propio generalizado de rango 3 correspondiente a . Tenga en cuenta que es posible obtener infinitos otros vectores propios generalizados de rango 3 eligiendo diferentes valores de, y , con . Nuestra primera opción, sin embargo, es la más simple. [47]
Ahora usando las ecuaciones ( 1 ), obtenemos y como vectores propios generalizados de rango 2 y 1, respectivamente, donde
y
El valor propio simple puede tratarse utilizando técnicas estándar y tiene un vector propio ordinario
Una base canónica para es
y son vectores propios generalizados asociados con , tiempo es el vector propio ordinario asociado con .
Este es un ejemplo bastante simple. En general, los números de vectores propios generalizados linealmente independientes de rango no siempre será igual. Es decir, puede haber varias cadenas de diferentes longitudes correspondientes a un valor propio particular. [48]
Matriz modal generalizada
Dejar ser una matriz n × n . Una matriz modal generalizada por es una matriz n × n cuyas columnas, consideradas como vectores, forman una base canónica para y aparecer en de acuerdo con las siguientes reglas:
Todas las cadenas de Jordan que constan de un vector (es decir, un vector de longitud) aparecen en las primeras columnas de .
Todos los vectores de una cadena aparecen juntos en columnas adyacentes de .
Cada cadena aparece en en orden de rango creciente (es decir, el vector propio generalizado de rango 1 aparece antes del vector propio generalizado de rango 2 de la misma cadena, que aparece antes del vector propio generalizado de rango 3 de la misma cadena, etc.). [49]
Jordan forma normal
Un ejemplo de una matriz en forma normal de Jordan. Los bloques grises se llaman bloques Jordan.
Dejar ser un espacio vectorial n- dimensional; dejarser un mapa lineal en L ( V ) , el conjunto de todos los mapas lineales deen sí mismo; y deja ser la representación matricial de con respecto a alguna base ordenada. Se puede demostrar que si el polinomio característico de factores en factores lineales, de modo que tiene la forma
dónde son los valores propios distintos de , luego cada es la multiplicidad algebraica de su valor propio correspondiente y es similar a una matriz en forma normal de Jordan , donde cada aparece veces consecutivas en la diagonal, y la entrada directamente encima de cada (es decir, en la superdiagonal ) es 0 o 1: la entrada sobre la primera aparición de cadasiempre es 0; todas las demás entradas en la superdiagonal son 1. Todas las demás entradas (es decir, fuera de la diagonal y superdiagonal) son 0. La matriz es lo más cercano a una diagonalización de . Sies diagonalizable, entonces todas las entradas por encima de la diagonal son cero. [50] Tenga en cuenta que algunos libros de texto tienen los que están en la subdiagonal , es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los valores propios todavía están en la diagonal principal. [51] [52]
Cada matriz n × n es similar a una matriz en forma normal de Jordan, obtenida a través de la transformación de similitud , dónde es una matriz modal generalizada para . [53] (Véase la nota anterior).
Ejemplo 4
Encuentre una matriz en forma normal de Jordan que sea similar a
Solución: la ecuación característica de es , por eso, es un valor propio de multiplicidad algebraica tres. Siguiendo los procedimientos de los apartados anteriores, encontramos que
y
Por lo tanto, y , lo que implica que una base canónica para contendrá un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 2 y dos vectores propios generalizados linealmente independientes de rango 1, o equivalentemente, una cadena de dos vectores y una cadena de un vector . Designando, encontramos eso
y
dónde es una matriz modal generalizada para , las columnas de son una base canónica para , y . [54] Tenga en cuenta que dado que los vectores propios generalizados no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambos y pueden intercambiarse, se deduce que ambos y no son únicos. [55]
Ejemplo 5
En el ejemplo 3 , encontramos una base canónica de vectores propios generalizados linealmente independientes para una matriz. Una matriz modal generalizada para es
Una matriz en forma normal de Jordan, similar a es
así que eso .
Aplicaciones
Funciones de matriz
Tres de las operaciones más fundamentales que se pueden realizar en matrices cuadradas son la suma de matrices, la multiplicación por un escalar y la multiplicación de matrices. [56] Estas son exactamente las operaciones necesarias para definir una función polinomial de una matriz n × n. [57] Si recordamos del cálculo básico que muchas funciones se pueden escribir como una serie de Maclaurin , entonces podemos definir funciones más generales de matrices con bastante facilidad. [58] Si es diagonalizable, es decir
con
luego
y la evaluación de la serie de Maclaurin para funciones de está muy simplificado. [59] Por ejemplo, para obtener cualquier potencia k de, solo necesitamos calcular , premultiplicar por y postmultiplicar el resultado por . [60]
Usando vectores propios generalizados, podemos obtener la forma normal de Jordan para y estos resultados pueden generalizarse a un método sencillo para calcular funciones de matrices no diagonalizables. [61] (Ver función de matriz # Descomposición de Jordan ).
Ecuaciones diferenciales
Considere el problema de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
( 5 )
dónde
y
Si la matriz es una matriz diagonal de modo que por , entonces el sistema ( 5 ) se reduce a un sistema de n ecuaciones que toman la forma
( 6 )
En este caso, la solución general viene dada por
En el caso general, intentamos diagonalizar y reducir el sistema ( 5 ) a un sistema como ( 6 ) como sigue. Si es diagonalizable, tenemos , dónde es una matriz modal para . Sustituyendo, la ecuación ( 5 ) toma la forma, o
( 7 )
dónde
( 8 )
La solución de ( 7 ) es
La solución de ( 5 ) se obtiene usando la relación ( 8 ). [62]
Por otro lado, si no es diagonalizable, elegimos ser una matriz modal generalizada para , tal que es la forma normal de Jordan de . El sistema tiene la forma
( 9 )
donde el son los valores propios de la diagonal principal de y el son los unos y ceros de la superdiagonal de . El sistema ( 9 ) suele resolverse más fácilmente que ( 5 ). Podemos resolver la última ecuación en ( 9 ) para, obteniendo . Luego sustituimos esta solución poren la penúltima ecuación en ( 9 ) y resuelva para. Continuando con este procedimiento, trabajamos con ( 9 ) desde la última ecuación hasta la primera, resolviendo todo el sistema para. La soluciónluego se obtiene usando la relación ( 8 ). [63]
Notas
^ Bronson (1970 , p. 189)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 310)
^ Nering (1970 , p. 118)
^ Golub y Van Loan (1996 , p. 316)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 319)
^ Bronson (1970 , págs. 194-195)
^ Golub y Van Loan (1996 , p. 311)
^ Bronson (1970 , p. 196)
^ Bronson (1970 , p. 189)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 316–318)
^ Nering (1970 , p. 118)
^ Bronson (1970 , p. 196)
^ Anton (1987 , págs. 301-302)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 266)
^ Carga y ferias (1993 , p. 401)
^ Golub y Van Loan (1996 , págs. 310-311)
^ Harper (1976 , p. 58)
^ Herstein (1964 , p. 225)
^ Kreyszig (1972 , págs. 273,684)
^ Nering (1970 , p. 104)
^ Carga y ferias (1993 , p. 401)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 270-274)
^ Bronson (1970 , págs. 179-183)
^ Bronson (1970 , p. 181)
^ Bronson (1970 , p. 179)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 270-274)
^ Bronson (1970 , págs. 179-183)
^ Bronson (1970 , p. 189)
^ Bronson (1970 , págs. 190,202)
^ Bronson (1970 , págs. 189,203)
^ Bronson (1970 , págs. 206-207)
^ Bronson (1970 , p. 205)
^ Bronson (1970 , p. 196)
^ Bronson (1970 , págs. 189,209-215)
^ Golub y Van Loan (1996 , p. 316)
^ Herstein (1964 , p. 259)
^ Nering (1970 , p. 118)
^ Nering (1970 , p. 118)
^ Nering (1970 , p. 118)
^ Herstein (1964 , p. 261)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 310)
^ Nering (1970 , págs. 122, 123)
^ Bronson (1970 , págs. 189-209)
^ Bronson (1970 , págs. 194-195)
^ Bronson (1970 , págs. 196, 197)
^ Bronson (1970 , págs. 197, 198)
^ Bronson (1970 , págs. 190-191)
^ Bronson (1970 , págs. 197-198)
^ Bronson (1970 , p. 205)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 311)
↑ Cullen (1966 , p. 114)
^ Franklin (1968 , p. 122)
^ Bronson (1970 , p. 207)
^ Bronson (1970 , págs.208)
^ Bronson (1970 , p. 206)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 57-61)
↑ Bronson (1970 , p. 104)
^ Bronson (1970 , p. 105)
^ Bronson (1970 , p. 184)
^ Bronson (1970 , p. 185)
^ Bronson (1970 , págs. 209-218)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 274-275)
^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 317)
Referencias
Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon (1997). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-98258-8.
Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
Bronson, Richard (1970), Métodos de matriz: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN 70097490
Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas (1993), Análisis numérico (5.a ed.), Boston: Prindle, Weber y Schmidt , ISBN 0-534-93219-3
Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Lectura: Addison-Wesley , LCCN 66021267
Franklin, Joel N. (1968), Teoría de la matriz , Acantilados de Englewood: Prentice-Hall , LCCN 68016345
Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.a ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
Harper, Charlie (1976), Introducción a la física matemática , Nueva Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2a ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646