En matemáticas , específicamente álgebra conmutativa , una estructura de poder dividida es una forma de hacer expresiones de la forma significativo incluso cuando no es posible dividir por .
Definición
Deje A sea un anillo conmutativo con un ideales I . Una estructura de poder dividida (o estructura PD , después de los puissances divisées franceses ) en I es una colección de mapaspara n = 0, 1, 2, ... tal que:
- y por , tiempo para n > 0.
- por .
- por .
- por , dónde es un número entero.
- por , dónde es un número entero.
Por conveniencia de la notación, a menudo se escribe como cuando está claro a qué se refiere la estructura de poder dividida.
El término ideal de poder dividido se refiere a un ideal con una estructura de poder dividida dada, y anillo de poder dividido se refiere a un anillo con un ideal dado con estructura de poder dividido.
Los homomorfismos de las álgebras de poder dividido son homomorfismos de anillo que respetan la estructura de poder dividido en su fuente y destino.
Ejemplos de
- El álgebra de poder dividido libre sobre en un generador:
- Si A es un álgebra sobrea continuación, todos los ideales que tiene una estructura de poder dividido único donde[1] De hecho, este es el ejemplo que motiva la definición en primer lugar.
- Si M es un módulo A , seadenotar el álgebra simétrica de M sobre A . Entonces es dualTiene una estructura canónica de anillo de poder dividido. De hecho, es canónicamente isomórfico a una terminación natural de(ver más abajo) si M tiene rango finito.
Construcciones
Si A es cualquier anillo, existe un anillo de poder dividido
que consta de polinomios de potencia divididos en las variables
que son sumas de monomios de poder divididos de la forma
con . Aquí el ideal de potencia dividida es el conjunto de polinomios de potencia dividida con coeficiente constante 0.
De manera más general, si M es un módulo A , hay un álgebra A universal , llamada
con DP ideal
y un mapa lineal A
(El caso de polinomios de potencia dividida es el caso especial en el que M es un módulo libre sobre A de rango finito).
Si lo es cualquier ideal de un anillo A , hay una construcción universal de la cual se extiende una con poderes divididos de elementos de I para obtener una envolvente de potencia dividida de que en una .
Aplicaciones
La envolvente de potencia dividida es una herramienta fundamental en la teoría de los operadores diferenciales de DP y la cohomología cristalina , donde se utiliza para superar las dificultades técnicas que surgen en la característica positiva .
El functor de poder dividido se utiliza en la construcción de co-functores de Schur.
Ver también
Referencias
- ^ La singularidad se deriva del hecho fácilmente comprobable de que, en general,.
- Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978). Notas sobre cohomología cristalina . Anales de estudios matemáticos. Prensa de la Universidad de Princeton . Zbl 0383.14010 .
- Hazewinkel, Michiel (1978). Grupos formales y aplicaciones . Matemática pura y aplicada, una serie de monografías y libros de texto. 78 . Elsevier . pag. 507. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020 .
- Cohomología de Rham derivada de p-ádico : contiene material excelente en anillos polinomiales PD y envolturas PD
- ¿Cuál es el nombre del análogo de álgebras de potencias divididas para x ^ i / i ? Contiene equivalencia útil a álgebras de potencias divididas como álgebras duales