En cálculo estocástico , la exponencial de Doléans-Dade , la exponencial de Doléans o la exponencial estocástica de una semimartingala X se define como la solución de la ecuación diferencial estocástica dY t = Y t dX t con la condición inicial Y 0 = 1 . El concepto lleva el nombre de Catherine Doléans-Dade . A veces se denota por Ɛ ( X ). En el caso de que X sea diferenciable, Y viene dado por la ecuación diferencialdY / dt = Y dX / dt cuya solución es Y = exp ( X - X 0 ) . Alternativamente, si X t = σB t + μt para un movimiento browniano B , entonces el exponencial de Doléans-Dade es un movimiento browniano geométrico . Para cualquier semimartingale X continua, la aplicación del lema de Itō con ƒ ( Y ) = log ( Y ) da
Exponenciar da la solución
Esto difiere de lo que podría esperarse en comparación con el caso en el que X es diferenciable debido a la existencia del término de variación cuadrática [ X ] en la solución. Tenga en cuenta que el argumento anterior es heurístico, ya que no sabemos a priori que existe una solución semimartingale para la ecuación diferencial estocástica. Además, el logaritmo no es una función continua y diferenciable dos veces sobre los números reales.
La exponencial de Doléans-Dade es útil en el caso de que X sea una martingala local . Entonces, Ɛ ( X ) también será una martingala local mientras que la exp ( X ) exponencial normal no lo es. Esto se usa en el teorema de Girsanov . Criterios para una martingala continua local X para asegurar que su estocástico exponencial Ɛ ( X ) es en realidad una martingala están dadas por la condición de Kazamaki , la condición de Novikov , y la condición de Benes .
Es posible aplicar el lema de Itō para semimartingalas no continuas de manera similar para mostrar que la exponencial de Doléans-Dade de cualquier semimartingala X es
donde el producto se extiende sobre los (contables muchos) saltos de X hasta el tiempo t .
Ver también
- Logaritmo estocástico
Referencias
- Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4