En matemáticas , una martingala local es un tipo de proceso estocástico que satisface la versión localizada de la propiedad de la martingala . Cada martingala es una martingala local; cada martingala local limitada es una martingala; en particular, cada martingala local que está delimitada desde abajo es una supermartingala, y cada martingala local que está delimitada desde arriba es una submartingala; sin embargo, en general, una martingala local no es una martingala, porque su expectativa puede verse distorsionada por valores grandes de probabilidad pequeña. En particular, un proceso de difusión sin deriva es una martingala local, pero no necesariamente una martingala.
Las martingalas locales son esenciales en el análisis estocástico (ver cálculo de Itō , semimartingala y teorema de Girsanov ).
Dejar ser un espacio de probabilidad ; dejarser una filtración de; dejar frijol - proceso estocástico adaptado en el set. Luego se llama un - martingala local si existe una secuencia de- tiempos de parada tal que
- la es casi seguro que están aumentando :;
- la divergen casi con seguridad: ;
- el proceso detenido
- es un -martingale por cada .
Ejemplo 1
Sea W t el proceso de Wiener y T = min { t : W t = −1} el tiempo del primer golpe de −1. El proceso detenido W min { t , T } es una martingala; su expectativa es 0 en todo momento, sin embargo, su límite (cuando t → ∞) es casi seguro igual a -1 (una especie de ruina del jugador ). Un cambio de hora conduce a un proceso
El proceso es continuo casi con seguridad; sin embargo, su expectativa es discontinua,
Este proceso no es una martingala. Sin embargo, es una martingala local. Se puede elegir una secuencia de localización comosi existe tal t , en caso contrario τ k = k . Esta secuencia diverge casi con seguridad, ya que τ k = k para todos los k suficientemente grandes (es decir, para todos los k que exceden el valor máximo del proceso X ). El proceso detenido en τ k es una martingala. [detalles 1]
Ejemplo 2
Sea W t el proceso de Wiener y f una función medible tal que Entonces el siguiente proceso es una martingala:
aquí
La función delta de Dirac (estrictamente hablando, no una función), que se utiliza en lugar de conduce a un proceso definido informalmente como y formalmente como
dónde
El proceso es continuo casi con seguridad (ya que casi seguro), sin embargo, su expectativa es discontinua,
Este proceso no es una martingala. Sin embargo, es una martingala local. Se puede elegir una secuencia de localización como
Ejemplo 3
Dejar ser el proceso de Wiener de valor complejo , y
El proceso es continuo casi con seguridad (ya que no llega a 1, casi con seguridad), y es una martingala local, ya que la función es armónico (en el plano complejo sin el punto 1). Se puede elegir una secuencia de localización comoSin embargo, la expectativa de este proceso no es constante; es más,
- como
que se puede deducir del hecho de que el valor medio de sobre el circulo tiende al infinito como . (De hecho, es igual apara r ≥ 1 pero a 0 para r ≤ 1).
Dejar ser una martingala local. Para probar que es una martingala basta con probar que en L 1 (como) para cada t , es decir, aquí es el proceso detenido. La relación dada implica que casi seguro. El teorema de convergencia dominado asegura la convergencia en L 1 siempre que
- por cada t .
Por lo tanto, Condición (*) es suficiente para una martingala local. siendo una martingala. Una condición más fuerte
- por cada t
también es suficiente.
Precaución. La condición más débil
- por cada t
No es suficiente. Además, la condición
todavía no es suficiente; para ver un contraejemplo, consulte el Ejemplo 3 anterior .
Un caso especial:
dónde es el proceso de Wiener , yes dos veces diferenciable de forma continua . El procesoes una martingala local si y solo si f satisface el PDE
Sin embargo, este PDE en sí mismo no garantiza que es una martingala. Para aplicar (**) la siguiente condición en f es suficiente: para caday t no existe tal que
para todos y