En matemáticas , la variación cuadrática se utiliza en el análisis de procesos estocásticos como el movimiento browniano y otras martingalas . La variación cuadrática es solo un tipo de variación de un proceso.
Definición
Suponga que X t es un proceso estocástico de valor real definido en un espacio de probabilidad y con un índice de tiempo t que se sitúa por encima de los números reales no negativos. Su variación cuadrática es el proceso, escrito como [ X ] t , definido como
donde P varía sobre particiones del intervalo [0, t ] y la norma de la partición P es la malla . Este límite, si existe, se define mediante la convergencia en la probabilidad . Nótese que un proceso puede ser de variación cuadrática finita en el sentido de la definición dada aquí y sus trayectorias pueden ser, sin embargo, casi seguramente de variación 1 infinita para cada t > 0 en el sentido clásico de tomar el supremo de la suma sobre todas las particiones; este es en particular el caso del movimiento browniano .
De manera más general, la covariación (o varianza cruzada ) de dos procesos X e Y es
La covariación se puede escribir en términos de variación cuadrática por la identidad de polarización :
Procesos de variación finita
Se dice que un proceso X tiene variación finita si tiene variación limitada en cada intervalo de tiempo finito (con probabilidad 1). Tales procesos son muy habituales, incluyendo, en particular, todas las funciones continuamente diferenciables. La variación cuadrática existe para todos los procesos continuos de variación finita y es cero.
Esta afirmación se puede generalizar a procesos no continuos. Cualquier càdlàg finita proceso de variación de X ha variación cuadrática igual a la suma de los cuadrados de los saltos de X . Para indicar esto con más precisión, el límite izquierdo de X t con respecto a t se denota por X t - , y el salto de X en el momento t se puede escribir como Δ X t = X t - X t - . Entonces, la variación cuadrática viene dada por
La prueba de que los procesos continuos de variación finita tienen variación cuadrática cero se deriva de la siguiente desigualdad. Aquí, P es una partición del intervalo [0, t ] y V t ( X ) es la variación de X sobre [0, t ].
Por la continuidad de X , esto se desvanece en el límite como va a cero.
Procesos de itô
La variación cuadrática de un movimiento browniano estándar B existe, y está dada por [ B ] t = t , sin embargo, el límite en la definición se entiende en el sentido L2 y no en la trayectoria. Esto se generaliza a los procesos de Itô que, por definición, se pueden expresar en términos de integrales de Itô
donde B es un movimiento browniano. Cualquiera de estos procesos tiene una variación cuadrática dada por
Semimartingales
Se puede demostrar la existencia de variaciones cuadráticas y covariaciones de todas las semimartaleñas . Forman una parte importante de la teoría del cálculo estocástico, y aparecen en el lema de Itô , que es la generalización de la regla de la cadena a la integral de Itô. La covariación cuadrática también aparece en la fórmula de integración por partes
que se puede utilizar para calcular [ X , Y ].
Alternativamente, esto se puede escribir como una ecuación diferencial estocástica:
dónde
Martingalas
Todas las càdlàg martingalas y martingalas locales tienen una variación cuadrática bien definida, que se deriva del hecho de que tales procesos son ejemplos de semimartingalas. Se puede demostrar que la variación cuadrática [ M ] de una martingala integrable localmente cuadrada general M es el único proceso continuo a la derecha y creciente que comienza en cero, con saltos Δ [ M ] = Δ M 2 , y tal que M 2 - [ M ] es una martingala local. En Karandikar – Rao (2014) se da una prueba de la existencia de [ M ] (sin usar cálculo estocástico).
Un resultado útil para martingalas cuadradas integrables es la isometría de Itô , que se puede utilizar para calcular la varianza de las integrales de Itô,
Este resultado se cumple siempre que M es una martingala integrable cuadrada de càdlàg y H es un proceso predecible acotado , y se utiliza a menudo en la construcción de la integral de Itô.
Otro resultado importante es la desigualdad Burkholder-Davis-Gundy . Esto da límites para el máximo de una martingala en términos de variación cuadrática. Para una martingala local M que comienza en cero, con el máximo denotado por M t * ≡ sup s≤ t | M s |, y cualquier número real p ≥ 1, la desigualdad es
Aquí, c p < C p son constantes según la elección de p , pero no según la martingala M o el tiempo t utilizado. Si M es una martingala local continua, entonces la desigualdad de Burkholder-Davis-Gundy es válida para cualquier p > 0.
Un proceso alternativo, la variación cuadrática predecible, a veces se usa para martingalas integrables localmente cuadradas. Esto se escribe como < M > t , y se define como el único proceso predecible continuo a la derecha y en aumento que comienza en cero, de modo que M 2 - < M > es una martingala local. Su existencia se deriva del teorema de descomposición de Doob-Meyer y, para martingalas locales continuas, es lo mismo que la variación cuadrática.
Ver también
Referencias
- Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2a ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L .; Rao, BV (2014). "Sobre variación cuadrática de martingalas" . Actas - Ciencias Matemáticas . 124 (3): 457–469. doi : 10.1007 / s12044-014-0179-2 .