Espacio de duplicación
En matemáticas , se dice que un espacio métrico X con métrica d se duplica si existe alguna constante de duplicación M > 0 tal que para cualquier x ∈ X y r > 0 , es posible cubrir la bola B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } con la unión de como máximo M bolas de radio r / 2 . [1]El logaritmo en base 2 de M a menudo se conoce como la dimensión de duplicación de X. Los espacios euclidianos equipados con la métrica euclidiana habitual son ejemplos de espacios de duplicación donde la constante de duplicación M depende de la dimensión d . Por ejemplo, en una dimensión, M = 2 ; y en dos dimensiones, M = 7 . [2]
Una cuestión importante en la geometría del espacio métrico es caracterizar aquellos espacios métricos que pueden integrarse en algún espacio euclidiano mediante una función bi-Lipschitz . Esto significa que uno puede pensar esencialmente en el espacio métrico como un subconjunto del espacio euclidiano. No todos los espacios métricos pueden estar incrustados en el espacio euclidiano. Duplicar espacios métricos, por otro lado, parecería que tienen más posibilidades, ya que la condición de duplicación dice, en cierto modo, que el espacio métrico no es de dimensión infinita. Sin embargo, esto todavía no es el caso en general. El grupo de Heisenberg con su métrica de Carnot-Caratheodory es un ejemplo de un espacio métrico de duplicación que no se puede incrustar en ningún espacio euclidiano. [3]
El teorema de Assouad establece que, para un espacio métrico M -duplicado X , si le damos la métrica d ( x , y ) ε para algún 0 < ε < 1, entonces existe un morfismo L -bi-Lipschitz f : X → ℝ d , donde d y L dependen de M y ε .
Se dice que una medida no trivial en un espacio métrico X se duplica si la medida de cualquier bola es finita y aproximadamente la medida de su doble, o más precisamente, si hay una constante C > 0 tal que
Un espacio de medida métrica que admite una medida de duplicación es necesariamente un espacio métrico de duplicación, donde la constante de duplicación depende de la constante C. Por el contrario, cada espacio métrico de duplicación completo admite una medida de duplicación. [4] [5]
Un ejemplo simple de una medida de duplicación es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano. Sin embargo, se pueden tener medidas de duplicación en el espacio euclidiano que son singulares con respecto a la medida de Lebesgue. Un ejemplo en la línea real es el límite débil de la siguiente secuencia de medidas: [6]
