medida singular

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En matemáticas , dos medidas positivas (o con signo o complejas ) y definidas sobre un espacio medible se llaman singulares si existen dos conjuntos disjuntos cuya unión es tal que es cero en todos los subconjuntos medibles de mientras que es cero en todos los subconjuntos medibles de Esto se denota por${\ estilo de visualización \ mu}$${\ estilo de visualización \nu}$ ${\ estilo de visualización (\ Omega, \ Sigma)}$${\ estilo de visualización A, B \ en \ Sigma}$${\ estilo de visualización \ omega}$${\ estilo de visualización \ mu}$${\ estilo de visualización B}$${\ estilo de visualización \nu}$${\ estilo de visualización A.}$${\ estilo de visualización \ mu \ perpetrador \ nu.}$

Una forma refinada del teorema de descomposición de Lebesgue descompone una medida singular en una medida continua singular y una medida discreta . Vea a continuación para ver ejemplos.

Como caso particular, una medida definida sobre el espacio euclidiano se llama singular , si es singular con respecto a la medida de Lebesgue sobre dicho espacio. Por ejemplo, la función delta de Dirac es una medida singular.${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

La distribución de Cantor tiene una función de distribución acumulativa que es continua pero no absolutamente continua , y de hecho su parte absolutamente continua es cero: es continua singular.

Ejemplo. Una medida continua singular en${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2}.}$

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