Variedad subriemanniana

En matemáticas , una variedad subriemanniana es un cierto tipo de generalización de una variedad riemanniana . En términos generales, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite ir a lo largo de curvas tangentes a los llamados subespacios horizontales .

Las variedades sub-riemannianas (y por tanto, a fortiori , las variedades riemannianas) llevan una métrica intrínseca natural llamada métrica de Carnot-Carathéodory . La dimensión de Hausdorff de tales espacios métricos es siempre un número entero y mayor que su dimensión topológica (a menos que sea realmente una variedad de Riemann).

Las variedades subriemannianas a menudo ocurren en el estudio de sistemas restringidos en la mecánica clásica , como el movimiento de vehículos en una superficie, el movimiento de brazos robóticos y la dinámica orbital de satélites. Las cantidades geométricas como la fase de Berry pueden entenderse en el lenguaje de la geometría subriemanniana. El grupo de Heisenberg , importante para la mecánica cuántica , tiene una estructura subriemanniana natural.

Por una distribución de entendemos un subpaquete del paquete tangente de . ${\ estilo de visualización M}$ ${\ estilo de visualización M}$

Dada una distribución, un campo vectorial en se llama horizontal . Una curva sobre se llama horizontal si para cualquier . $H(M)\subconjunto T(M)$ ${\ estilo de visualización H (M)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma}$ ${\ estilo de visualización M}$ ${\dot {\gamma }}(t)\en H_{\gamma (t)}(M)$ ${\ estilo de visualización t}$

Una distribución en se llama completamente no integrable si para cualquiera tenemos que cualquier vector tangente puede presentarse como una combinación lineal de vectores de los siguientes tipos donde todos los campos vectoriales son horizontales. ${\ estilo de visualización H (M)}$ ${\ estilo de visualización x \ en M}$ $A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x), \dotsc \in T_{x}(M)$ ${\ estilo de visualización A, B, C, D, \ puntos}$