Duplicar el espacio
En matemáticas , se dice que un espacio métrico X con métrica d se duplica si hay alguna constante de duplicación M > 0 tal que para cualquier x ∈ X y r > 0 , es posible cubrir la bola B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } con la unión de como máximo M bolas de radio r / 2 . [1]El logaritmo en base 2 de M se refiere a menudo como la dimensión de duplicación de X . Los espacios euclidianos equipados con la métrica euclidiana habitual son ejemplos de espacios de duplicación donde la constante de duplicación M depende de la dimensión d . Por ejemplo, en una dimensión, M = 2 ; y en dos dimensiones, M = 7 . [2]
Una cuestión importante en la geometría del espacio métrico es caracterizar esos espacios métricos que pueden incrustarse en algún espacio euclidiano mediante una función bi-Lipschitz . Esto significa que esencialmente se puede pensar en el espacio métrico como un subconjunto del espacio euclidiano. No todos los espacios métricos pueden estar incrustados en el espacio euclidiano. Duplicar espacios métricos, por otro lado, parecería que tienen más posibilidades, ya que la condición de duplicación dice, en cierto modo, que el espacio métrico no es de dimensión infinita. Sin embargo, este todavía no es el caso en general. El grupo de Heisenberg con su métrica Carnot-Caratheodory es un ejemplo de un espacio métrico que se duplica y que no se puede incrustar en ningún espacio euclidiano. [3]
El teorema de Assouad establece que, para un espacio métrico X que se duplica por M , si le damos la métrica d ( x , y ) ε para algunos 0 < ε <1, entonces hay un mapa L -bi-Lipschitz f : X → ℝ d , donde d y L dependen de M y ε .
Se dice que una medida no trivial en un espacio métrico X se duplica si la medida de cualquier bola es finita y aproximadamente la medida de su doble, o más precisamente, si hay una constante C > 0 tal que
Un espacio de medida métrica que es compatible con una medida de duplicación es necesariamente un espacio métrico duplicar, donde la constante de duplicación depende de la constante C . Por el contrario, cada espacio métrico de duplicación completo admite una medida de duplicación. [4] [5]
Un ejemplo simple de una medida de duplicación es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano. Sin embargo, se pueden tener medidas de duplicación en el espacio euclidiano que sean singulares con respecto a la medida de Lebesgue. Un ejemplo en la línea real es el límite débil de la siguiente secuencia de medidas: [6]
