Lema de Douglas

En la teoría de operadores , un área de las matemáticas, el lema de Douglas ^[1] relaciona factorización , inclusión de rango y mayorización de los operadores espaciales de Hilbert . Generalmente se atribuye a Ronald G. Douglas , aunque Douglas reconoce que es posible que ya se conozcan algunos aspectos del resultado. La declaración del resultado es la siguiente:

Teorema : Si${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$son operadores acotados en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$, los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle \operatorname {range} A\subseteq \operatorname {range} B}$
2. ${\displaystyle AA^{*}\leq \lambda ^{2}BB^{*}}$ para algunos ${\displaystyle \lambda \geq 0}$
3. Existe un operador acotado ${\displaystyle C}$ en ${\displaystyle H}$ tal que ${\displaystyle A=BC}$.

Además, si se cumplen estas condiciones equivalentes, existe un operador único ${\displaystyle C}$ tal que

• ${\displaystyle \Vert C\Vert ^{2}=\inf\{\mu :\,AA^{*}\leq \mu BB^{*}\}}$
• ${\displaystyle \ker A=\ker C}$
• ${\displaystyle \operatorname {range} C\subseteq {\overline {\operatorname {range} B^{*}}}}$.

Forough (2014) demostró una generalización del lema de Douglas para operadores ilimitados en un espacio de Banach. ^[2]

Ver también

• Operador positivo

Referencias

1. Douglas, RG (1966). "Sobre mayorización, factorización e inclusión de rango de operadores en Hilbert Space" . Actas de la American Mathematical Society . 17 : 413–415. doi : 10.2307 / 2035178 . Señor 0203464 . 
2. Forough, M. (2014). "Mayorización, inclusión de rangos y factorización para operadores ilimitados en espacios Banach" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 449 : 60–67. doi : 10.1016 / j.laa.2014.02.033 . Señor 3191859 . 

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