En matemáticas , especialmente en el análisis funcional , un elemento autoadjunto (o hermitiano )de un C * -álgebra se llama positivo si su espectro consta de números reales no negativos. Además, un elemento de un C * -álgebra es positivo si y solo si hay alguna en tal que . Un elemento positivo es autoadjunto y, por tanto, normal .
Si es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert complejo , entonces esta noción coincide con la condición de que no es negativo para cada vector en . Tenga en cuenta que es real para todos en si y solo si es autoadjunto. Por lo tanto, un operador positivo en un espacio de Hilbert es siempre autoadjunto (y un operador autoadjunto definido en todas partes en un espacio de Hilbert siempre está acotado debido al teorema de Hellinger-Toeplitz ).
El conjunto de elementos positivos de un C * -álgebra forma un cono convexo .
Operadores definidos positivos y positivos
Un operador lineal acotado en un espacio de producto interior se dice que es positivo (o semidefinido positivo ) si para algún operador acotado en , y se dice que es positivo definido sitambién es no singular .
(I) Las siguientes condiciones para un operador acotado en ser positivo semidefinido son equivalentes:
- para algún operador acotado en ,
- para algunos operadores autoadjuntos en ,
- .
(II) Las siguientes condiciones para un operador acotado en ser positivo definido son equivalentes:
- para algún operador acotado no singular en ,
- para algunos operadores autoadjuntos no singulares en ,
- en .
(III) Una matriz compleja representa un operador positivo (semi) definido si y solo si es hermitiano (o autoadjunto) y, y son números reales (estrictamente) positivos.
Ejemplos de
- La siguiente matriz no es positivo definido ya que . Sin emabargo, es semidefinido positivo ya que , y no son negativos.
Orden parcial usando positividad
Definiendo
para elementos autoadjuntos en un C * -álgebra , se obtiene un orden parcial en el conjunto de elementos autoadjuntos en. Tenga en cuenta que de acuerdo con esta definición, tenemos si y solo si es positivo, lo cual es conveniente.
Este orden parcial es análogo al orden natural de los números reales, pero solo hasta cierto punto. Por ejemplo, respeta la multiplicación por reales positivos y la adición de elementos autoadjuntos, pero no es necesario que se mantenga para elementos positivos con y .
Referencias
- Conway, John (1990), Un curso de análisis funcional , Springer Verlag , ISBN 0-387-97245-5