du Val singularidad

En la geometría algebraica , una singularidad Du Val , también llamado singularidad sencilla superficie , singularidad Kleinian , o doble punto racional , es una singularidad aislada de una superficie compleja que se basa en una cubierta de doble ramificado del avión, con resolución mínima obtenida mediante la sustitución de la punto singular con un árbol de curvas racionales suaves, con patrón de intersección dual a un diagrama de Dynkin del tipo de singularidad ADE . Son las singularidades canónicas (o, de manera equivalente, las singularidades racionales de Gorenstein) en la dimensión 2. Fueron estudiadas por Patrick Du Val  ( 1934a , 1934b ,1934c ) y Felix Klein .

Las singularidades de Du Val también aparecen como cocientes de C ² por un subgrupo finito de SL ₂ ( C ) ; de manera equivalente, un subgrupo finito de SU (2), que se conocen como grupos poliédricos binarios . Los anillos de polinomios invariantes de estas acciones de grupos finitos fueron calculados por Klein y son esencialmente los anillos de coordenadas de las singularidades; este es un resultado clásico en la teoría invariante .

Clasificación

Las singularidades de Du Val se clasifican mediante los diagramas de Dynkin simplemente entrelazados , una forma de clasificación ADE .

Las posibles singularidades de Du Val son (hasta el isomorfismo analítico):

• ${\displaystyle A_{n}:\quad w^{2}+x^{2}+y^{n+1}=0}$
• ${\displaystyle D_{n}:\quad w^{2}+y(x^{2}+y^{n-2})=0\qquad (n\geq 4)}$
• ${\displaystyle E_{6}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{4}=0}$
• ${\displaystyle E_{7}:\quad w^{2}+x(x^{2}+y^{3})=0}$
• ${\displaystyle E_{8}:\quad w^{2}+x^{3}+y^{5}=0.}$

Ver también

• Resolución de Brieskorn-Grothendieck

Referencias

• Artin, Michael (1966), "Sobre singularidades racionales aisladas de superficies", American Journal of Mathematics , 88 (1): 129-136, doi : 10.2307 / 2373050 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2373050 , MR  0199191
• Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Durfee, Alan H. (1979), "Quince caracterizaciones del doble de puntos racionales y puntos críticos simples" , la Enseñanza mathématique , IIe Série, 25 (1): 131-163, ISSN  desde 0013 hasta 8584 , MR  0.543.555 , archivado de la original el 2011-07-07
• du Val, Patrick (1934a), "Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción. I", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 30 (4): 453–459, doi : 10.1017 / S030500410001269X Entrada Zbl I
• du Val, Patrick (1934b), "Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción. II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 30 (4): 460–465, doi : 10.1017 / S0305004100012706 II
• du Val, Patrick (1934c), "Sobre singularidades aisladas de superficies que no afectan las condiciones de adjunción. III", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 30 (4): 483–491, doi : 10.1017 / S030500410001272X III

Enlaces externos

• Reid, Miles , Las singularidades de Du Val A n , D n , E 6 , E 7 , E 8 (PDF)
• Singularidades de Burban, Igor, Du Val (PDF)