Diagrama de Dynkin
En el campo matemático de la teoría de Lie , un diagrama de Dynkin , llamado así por Eugene Dynkin , es un tipo de gráfico con algunos bordes duplicados o triplicados (dibujados como una línea doble o triple). Los diagramas de Dynkin surgen en la clasificación de álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados , en la clasificación de grupos de Weyl y otros grupos de reflexión finitos , y en otros contextos. Varias propiedades del diagrama de Dynkin (como si contiene múltiples aristas o sus simetrías) corresponden a características importantes del álgebra de Lie asociada.
El término "diagrama de Dynkin" puede ser ambiguo. En algunos casos, se supone que los diagramas de Dynkin están dirigidos , en cuyo caso corresponden a sistemas de raíces y álgebras de Lie semi-simples, mientras que en otros casos se supone que no están dirigidos , en cuyo caso corresponden a grupos de Weyl. En este artículo, "diagrama de Dynkin" significa diagrama de Dynkin dirigido , y los diagramas de Dynkin no dirigidos se denominarán así explícitamente.
El interés fundamental en los diagramas de Dynkin es que clasifican álgebras de Lie semisimple sobre campos algebraicamente cerrados . Uno clasifica tales álgebras de Lie a través de su sistema de raíces , que puede representarse mediante un diagrama de Dynkin. Luego, se clasifican los diagramas de Dynkin de acuerdo con las restricciones que deben satisfacer, como se describe a continuación.
Dejar caer la dirección en los bordes del gráfico corresponde a reemplazar un sistema de raíces por el grupo de reflexión finito que genera, el llamado grupo de Weyl , y por lo tanto, los diagramas de Dynkin no dirigidos clasifican los grupos de Weyl.
Tienen la siguiente correspondencia para las álgebras de Lie asociadas a grupos clásicos sobre los números complejos:
Para los grupos excepcionales, los nombres del álgebra de Lie y el diagrama de Dynkin asociado coinciden.
