En matemáticas , especialmente en la teoría de categorías , una categoría monoidal cerrada (o una categoría cerrada monoidal ) es una categoría que es tanto una categoría monoidal como una categoría cerrada de tal manera que las estructuras son compatibles.
Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , Conjunto , donde el producto monoidal de conjuntos y es el producto cartesiano habitual , y el Hom interno es el conjunto de funciones de a . Un ejemplo no cartesiano es la categoría de espacios vectoriales , K -Vect , sobre un campo . Aquí, el producto monoidal es el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales , y el Hom interno es el espacio vectorial de los mapas lineales de un espacio vectorial a otro.
El lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas es la lógica lineal y el sistema de tipos es el sistema de tipos lineales . Muchos ejemplos de categorías monoidales cerradas son simétricas . Sin embargo, no siempre es necesario que sea así, ya que pueden encontrarse categorías monoidales no simétricas en las formulaciones teóricas de categorías de la lingüística ; En términos generales, esto se debe a que el orden de las palabras en el lenguaje natural es importante.
Definición
Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal. tal que para cada objeto el funtor dado por el tensor por la derecha con
tiene un derecho adjunto , escrito
Esto significa que existe una biyección, llamada ' curado ', entre los Hom-sets
que es natural tanto en A y C . En una notación diferente, pero común, se diría que el funtor
tiene un derecho adjunto
De manera equivalente, una categoría monoidal cerrada es una categoría equipada, por cada dos objetos A y B , con
- un objeto ,
- un morfismo ,
satisfaciendo la siguiente propiedad universal: para cada morfismo
existe un morfismo único
tal que
Se puede demostrar que esta construcción define un functor . Este funtor se denomina funtor Hom interno y el objetose llama el Hom interno de y . Muchas otras notaciones son de uso común para el Hom interno. Cuando el producto tensor es el producto cartesiano, la notación habitual es y este objeto se llama objeto exponencial .
Categorías bicerradas y simétricas
Estrictamente hablando, hemos definido una categoría monoidal cerrada derecha , ya que requerimos esa tensión derecha con cualquier objetotiene un adjunto derecho. En una categoría monoidal cerrada a la izquierda , en cambio, exigimos que el funtor de tensor izquierdo con cualquier objeto
tener un derecho adjunto
Una categoría monoidal bicerrada es una categoría monoidal que está cerrada tanto a la izquierda como a la derecha.
Una categoría monoidal simétrica se deja cerrada si y solo si está cerrada a la derecha. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad de una "categoría cerrada monoidal simétrica" sin especificar si está cerrada por la izquierda o por la derecha. De hecho, lo mismo es cierto de manera más general para las categorías monoidales trenzadas : dado que el trenzado hace naturalmente isomorfo a , la distinción entre tensar a la izquierda y tensar a la derecha se vuelve inmaterial, por lo que cada categoría monoidal trenzada cerrada derecha se vuelve cerrada a la izquierda de una manera canónica, y viceversa.
Hemos descrito las categorías monoidales cerradas como categorías monoidales con una propiedad adicional. De manera equivalente, se puede definir una categoría monoidal cerrada como una categoría cerrada con una propiedad adicional. Es decir, podemos exigir la existencia de un producto tensorial que se deja adjunto al funtor Hom interno . En este enfoque, las categorías monoidales cerradas también se denominan categorías cerradas monoidales .
Ejemplos de
- Cada categoría cerrada cartesiana es una categoría cerrada monoidal simétrica, cuando la estructura monoidal es la estructura del producto cartesiano. El funtor Hom interno está dado por el objeto exponencial .
- En particular, la categoría de conjuntos , Conjunto , es una categoría monoidal cerrada simétrica. Aquí el Hom interno es solo el conjunto de funciones de a .
- La categoría de módulos , R -Mod sobre un anillo conmutativo R es una categoría cerrada monoidal, simétrica, no cartesiana. El producto monoidal viene dado por el producto tensorial de los módulos y el Hom internoviene dado por el espacio de R -mapas lineales con su estructura de módulo R natural .
- En particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo es una categoría monoidal cerrada simétrica.
- Los grupos abelianos se pueden considerar como módulos Z , por lo que la categoría de grupos abelianos también es una categoría monoidal cerrada simétrica.
- Una categoría cerrada compacta es una categoría cerrada monoidal simétrica, en la que el functor Hom interno es dado por . El ejemplo canónico es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, FdVect .
Contraejemplos
- La categoría de anillos es una categoría monoidal simétrica bajo el producto tensorial de anillos , consirviendo como el objeto de la unidad. Esta categoría no está cerrada. Si lo fuera, habría exactamente un homomorfismo entre cualquier par de anillos:. Lo mismo vale para la categoría de R - álgebra de más de un anillo conmutativo R .
Ver también
Referencias
- Kelly, GM "Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida" , Serie de notas de conferencia No 64 de la Sociedad Matemática de Londres (CUP, 1982)
- Paul-André Melliès, "Semántica categórica de la lógica lineal" , Panoramas et Synthèses 27, Société Mathématique de France, 2009
- Categoría monoidal cerrada en nLab