Ecuación de Duffing

Ecuación diferencial de segundo orden no lineal y su atractor

Una sección de Poincaré de la ecuación de Duffing forzada que sugiere un comportamiento caótico y .${\displaystyle (\alpha =1,}$ ${\displaystyle \beta =5,}$ ${\displaystyle \delta =0.02,}$ ${\displaystyle \gamma =8}$${\displaystyle \omega =0.5)}$

La ecuación de Duffing (u oscilador de Duffing ), que lleva el nombre de Georg Duffing (1861-1944), es una ecuación diferencial de segundo orden no lineal que se utiliza para modelar ciertos osciladores amortiguados y controlados . La ecuación está dada por

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t)\,}$

donde la función (desconocida) es el desplazamiento en el tiempo es la primera derivada de con respecto al tiempo, es decir , la velocidad , y es la segunda derivada del tiempo de, es decir, la aceleración . Los números y se dan constantes.${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\ddot {x}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$

La ecuación describe el movimiento de un oscilador amortiguado con un potencial más complejo que en el movimiento armónico simple (que corresponde al caso ); en términos físicos, modela, por ejemplo, un péndulo elástico cuya rigidez del resorte no obedece exactamente a la ley de Hooke .${\displaystyle \beta =\delta =0}$

La ecuación de Duffing es un ejemplo de un sistema dinámico que exhibe un comportamiento caótico . Además, el sistema Duffing presenta en la respuesta de frecuencia el fenómeno de resonancia de salto que es una especie de comportamiento de histéresis de frecuencia .

Parámetros

Los parámetros de la ecuación anterior son:

• ${\displaystyle \delta }$controla la cantidad de amortiguación ,
• ${\displaystyle \alpha }$controla la rigidez lineal ,
• ${\displaystyle \beta }$controla la cantidad de no linealidad en la fuerza restauradora; si la ecuación de Duffing describe un oscilador armónico simple amortiguado y accionado ,${\displaystyle \beta =0,}$
• ${\displaystyle \gamma }$es la amplitud de la fuerza impulsora periódica; si el sistema no tiene una fuerza impulsora, y${\displaystyle \gamma =0}$
• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular de la fuerza impulsora periódica.

Se puede considerar que la ecuación de Duffing describe las oscilaciones de una masa unida a un resorte no lineal y un amortiguador lineal. La fuerza de restauración proporcionada por el resorte no lineal es entonces${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}.}$

Cuando y el resorte se llama resorte de endurecimiento . A la inversa, porque es un resorte ablandador (todavía con ). En consecuencia, los adjetivos endurecimiento y ablandamiento se utilizan con respecto a la ecuación de Duffing en general, dependiendo de los valores de (y ). ^[1]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta <0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

El número de parámetros en la ecuación de Duffing se puede reducir en dos mediante la escala (de acuerdo con el teorema π de Buckingham ), por ejemplo, la excursión y el tiempo se pueden escalar como: ^[2] y asumiendo que es positivo (otras escalas son posibles para diferentes rangos de los parámetros, o por diferente énfasis en el problema estudiado). Entonces: ^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle y=x\alpha /\gamma ,}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),}$  donde y  ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},}$   ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}}.}$    ${\displaystyle \sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.}$

Los puntos denotan diferenciación de con respecto a Esto muestra que las soluciones de la ecuación de Duffing forzada y amortiguada se pueden describir en términos de los tres parámetros ( y ) y las dos condiciones iniciales (es decir, para y ).${\displaystyle y(\tau )}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle {\dot {y}}(t_{0})}$

Métodos de solución

En general, la ecuación de Duffing no admite una solución simbólica exacta. Sin embargo, muchos métodos aproximados funcionan bien:

• La expansión en una serie de Fourier puede proporcionar una ecuación de movimiento con precisión arbitraria.
• El término, también llamado término de Duffing , puede aproximarse como pequeño y el sistema tratarse como un oscilador armónico simple perturbado .${\displaystyle x^{3}}$
• El método de Frobenius produce una solución compleja pero viable.
• Se puede utilizar cualquiera de los diversos métodos numéricos , como el método de Euler y Runge-Kutta .
• El método de análisis de homotopy (HAM) También se ha informado para la obtención de soluciones aproximadas de la ecuación de Duffing, también para fuerte no linealidad. ^{[4] [5]}

En el caso especial de la ecuación de Duffing no amortiguada ( ) y no impulsada ( ), se puede obtener una solución exacta utilizando las funciones elípticas de Jacobi . ^[6]${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \gamma =0}$

Delimitación de la solución para el oscilador no forzado

Oscilador no amortiguado

La multiplicación de la ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada, con da: ^[7]${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\&\Rightarrow {\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}}$

con H una constante. El valor de H está determinado por las condiciones iniciales y${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle {\dot {x}}(0).}$

La sustitución en H muestra que el sistema es hamiltoniano :${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},}$   ${\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}$   con   ${\displaystyle \quad H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.}$

Cuando ambos y son positivos, la solución está acotada: ^[7]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}}$   y   ${\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}$

siendo positivo el Hamiltoniano H.

Oscilador amortiguado

Del mismo modo, para el oscilador amortiguado, ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\tfrac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\&\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}}$

ya que para la amortiguación. Sin forzar, el oscilador Duffing amortiguado terminará en (uno de) sus puntos de equilibrio estable . Los puntos de equilibrio, estables e inestables, están en Si el equilibrio estable está en Si y los equilibrios estables están en y${\displaystyle \delta \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$${\displaystyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

Respuesta de frecuencia

Respuesta de frecuencia en función de la ecuación de Duffing, con y amortiguamiento Las partes discontinuas de la respuesta de frecuencia son inestables. ^[3]${\displaystyle z/\gamma }$${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$${\displaystyle \delta =0.1.}$

El oscilador de Duffing forzado con no linealidad cúbica se describe mediante la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$

La respuesta de frecuencia de este oscilador describe la amplitud de la respuesta de estado estable de la ecuación (es decir ) a una frecuencia de excitación dada. Para un oscilador lineal con la respuesta de frecuencia también es lineal. Sin embargo, para un coeficiente cúbico distinto de cero , la respuesta de frecuencia se vuelve no lineal. Dependiendo del tipo de no linealidad, el oscilador Duffing puede mostrar una respuesta de frecuencia de endurecimiento, ablandamiento o una mezcla de endurecimiento-ablandamiento. De todos modos, usando el método de análisis de homotopía o balance armónico , se puede derivar una ecuación de respuesta de frecuencia de la siguiente forma: ^{[9] [5]}${\displaystyle z}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \beta =0,}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.}$

Para los parámetros de la ecuación de Duffing, la ecuación algebraica anterior da la amplitud de oscilación en estado estable a una frecuencia de excitación dada.${\displaystyle z}$

Derivación de la respuesta de frecuencia

Utilizando el método del equilibrio armónico, se busca una solución aproximada a la ecuación de Duffing de la forma: [9] ${\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),}$  con y  ${\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}}$    ${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}{a}}.}$ La aplicación en la ecuación de Duffing conduce a: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\,\omega \,t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\,\omega \,t\right)=0.\end{aligned}}}$ Descuidando los superarmónicos en los dos términos precedentes y tienen que ser cero. Como resultado,${\displaystyle 3\omega ,}$${\displaystyle \cos(\omega t)}$${\displaystyle \sin(\omega t)}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}}$ Cuadrar ambas ecuaciones y sumar conduce a la respuesta de frecuencia de amplitud: ${\displaystyle \left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},}$ como se indicó anteriormente.

Saltos

Salta en la respuesta de frecuencia. Los parámetros son: , y ^[9]${\displaystyle \alpha =\gamma =1,}$${\displaystyle \beta =0.04}$${\displaystyle \delta =0.1.}$

Para ciertos rangos de los parámetros en la ecuación de Duffing, es posible que la respuesta de frecuencia ya no sea una función de valor único de la frecuencia de forzado.Para un oscilador de resorte de endurecimiento ( y lo suficientemente positivo ), la respuesta de frecuencia sobresale hacia el lado de alta frecuencia y para el lado de baja frecuencia para el oscilador de resorte de ablandamiento ( y ). El lado saliente inferior es inestable, es decir, las partes de línea discontinua en las figuras de la respuesta de frecuencia, y no se puede realizar durante un tiempo prolongado. En consecuencia, aparece el fenómeno del salto: ${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >\beta _{c+}>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta <\beta _{c-}<0}$

• cuando la frecuencia angular aumenta lentamente (con otros parámetros fijos), la amplitud de respuesta cae en A repentinamente a B,${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z}$
• si la frecuencia se reduce lentamente, entonces en C la amplitud salta hasta D, y luego sigue la rama superior de la respuesta de frecuencia.${\displaystyle \omega }$

Los saltos A – B y C – D no coinciden, por lo que el sistema muestra histéresis dependiendo de la dirección del barrido de frecuencia. ^[9]

Ejemplos

Trazas de tiempo y retratos de fase

oscilación del período 2 en ${\displaystyle \gamma =0.28}$

oscilación del período 4 en ${\displaystyle \gamma =0.29}$

oscilación del período 5 en ${\displaystyle \gamma =0.37}$

caos en ${\displaystyle \gamma =0.50}$

oscilación del período 2 en ${\displaystyle \gamma =0.65}$

En las figuras siguientes se muestran algunos ejemplos típicos de series de tiempo y retratos de fase de la ecuación de Duffing, que muestran la aparición de subarmónicos a través de la bifurcación que duplica el período , así como el comportamiento caótico . La amplitud de forzamiento aumenta de a Los otros parámetros tienen los valores: y Las condiciones iniciales son y Los puntos rojos en los retratos de fase son a veces un múltiplo entero del período ^[10]${\displaystyle \gamma =0.20}$${\displaystyle \gamma =0.65.}$${\displaystyle \alpha =-1,}$ ${\displaystyle \beta =+1,}$ ${\displaystyle \delta =0.3}$${\displaystyle \omega =1.2.}$${\displaystyle x(0)=1}$${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=2\pi /\omega .}$

Referencias

Inline

1. Thompson, JMT; Stewart, HB (2002). Dinámica no lineal y caos . John Wiley e hijos. pag. 66. ISBN 9780471876847.
2. Lifshitz, R .; Cruz, MC (2008). "Mecánica no lineal de resonadores nanomecánicos y micromecánicos". En Schuster, HG (ed.). Revisiones de complejidad y dinámica no lineal . Wiley. págs. 8–9. ISBN 9783527407293. LCCN  2008459659 .
3. Brennan, MJ; Kovacic, I .; Carrella, A .; Aguas, TP (2008). "Sobre las frecuencias de salto hacia arriba y hacia abajo del oscilador Duffing". Revista de sonido y vibración . 318 (4–5): 1250–1261. doi : 10.1016 / j.jsv.2008.04.032 .
4. Kovacic y Brennan (2011 , págs. 123-127)
5. Tajaddodianfar, F .; Yazdi, MRH; Pishkenari, HN (2016). "Dinámica no lineal de resonadores MEMS / NEMS: solución analítica por el método de análisis de homotopía". Tecnologías de microsistemas . doi : 10.1007 / s00542-016-2947-7 .
6. Rand, RH (2012), Lecture notes on nonlinear vibrations (PDF) , 53, Cornell University, págs. 13-17
7. Bender y Orszag (1999 , p. 546)
8. Takashi Kanamaru (ed.). "Oscilador Duffing" . Scholarpedia .
9. Jordan y Smith (2007 , págs. 223–233)
10. Basado en los ejemplos que se muestran en Jordan y Smith (2007 , págs. 453–462)

Histórico

• Duffing, G. (1918), Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung [ Oscilaciones forzadas con frecuencia natural variable y su relevancia técnica ] (en alemán), Heft 41/42, Braunschweig: Vieweg, vi + 134 págs., OCLC  12003652

Otro

• Addison, PS (1997), Fractales y caos: un curso ilustrado , CRC Press, págs. 147-148, ISBN 9780849384431
• Bender, CM ; Orszag, SA (1999), Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I: Métodos asintóticos y teoría de la perturbación , Springer, págs. 545–551, ISBN 9780387989310
• Jordan, DW; Smith, P. (2007), Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales - Una introducción para científicos e ingenieros (4a ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-920824-1
• Kovacic, I .; Brennan, MJ, eds. (2011), La ecuación de Duffing: osciladores no lineales y su comportamiento , Wiley, 392 págs., ISBN 978-0-470-71549-9

Enlaces externos

• Oscilador Duffing en Scholarpedia
• Página MathWorld
• Pchelintsev, AN; Ahmad, S. (2020). "Solución de la ecuación de Duffing por el método de series de potencias" (PDF) . Transacciones de TSTU . 26 (1): 118-123.