Teorema de dupin

Superficies ortogonales a través de un punto

Dos planos (purble, azul) como miembros de un sistema ortogonal triple se cruzan con un cilindro en las líneas de curvatura (círculo azul, línea purble)

En geometría diferencial, el teorema de Dupin , que lleva el nombre del matemático francés Charles Dupin , es el enunciado: ^[1]

• La curva de intersección de cualquier par de superficies de diferentes lápices de un sistema ortogonal triple es una línea de curvatura .

Un sistema de tres superficies ortogonales consta de tres lápices de superficies de modo que cualquier par de superficies de diferentes lápices se intersecan ortogonalmente.

El ejemplo más simple de un sistema ortogonal triple consiste en los planos de coordenadas y sus paralelos. Pero este ejemplo no tiene interés, porque un plano no tiene líneas de curvatura.

Un ejemplo simple con al menos un lápiz de superficies curvas: 1) todos los cilindros circulares rectos con el eje z como eje, 2) todos los planos, que contienen el eje z, 3) todos los planos horizontales (ver diagrama).

Una línea de curvatura es una curva en una superficie, que tiene en cualquier punto la dirección de una curvatura principal ( curvatura máxima o mínima). El conjunto de líneas de curvatura de un cilindro circular recto consta del conjunto de círculos (curvatura máxima) y las líneas (curvatura mínima). Un plano no tiene líneas de curvatura, porque cualquier curvatura normal es cero. Por lo tanto, solo las líneas de curvatura del cilindro son de interés: un plano horizontal interseca a un cilindro en un círculo y un plano vertical tiene líneas con el cilindro en común.

La idea de sistemas ortogonales triples puede verse como una generalización de trayectorias ortogonales . Son ejemplos especiales los sistemas de secciones cónicas confocales .

Solicitud

El teorema de Dupin es una herramienta para determinar las líneas de curvatura de una superficie por intersección con superficies adecuadas (ver ejemplos), sin el cálculo de derivadas y curvaturas principales que requieren mucho tiempo. El siguiente ejemplo muestra que la incrustación de una superficie en un sistema ortogonal triple no es única.

Ejemplos de

Cono circular recto

Dado: Un cono circular recto, verde en el diagrama.
Se busca: las líneas de curvatura.

sistema ortogonal (violeta, verde, azul) de superficies para el cono (verde), líneas de curvatura: verde, rojo

1. lápiz : Al mover el cono C dado con el ápice S a lo largo de su eje, se genera un lápiz de conos (verde).
2. lápiz : Conos con vértices en el eje del cono dado de modo que las líneas sean ortogonales a las líneas del cono dado (azul).
3. lápiz : planos a través del eje del cono (violeta).

Estos tres lápices de superficies son un sistema ortogonal de superficies. Los conos azules se cruzan con el cono C dado en un círculo (rojo). Los planos violetas se cruzan en las líneas del cono C (verde).

Alternativa con esferas

Los puntos del espacio se pueden describir mediante las coordenadas esféricas . Se establece S = M = origen.${\displaystyle (r,\varphi ,\theta )}$

1. lápiz: conos con punto S como vértice y sus ejes son el eje del cono dado C (verde): . 2. lápiz: Esferas centrada a M = S (azul): 3. lápiz: Planes través del eje del cono C (púrpura): .${\displaystyle (r,\varphi ,\theta _{0})}$
${\displaystyle (r_{0},\varphi ,\theta )}$
${\displaystyle (r,\varphi _{0},\theta )}$

Toro

Sistema ortogonal (violeta, verde, azul) de superficies para un toro (verde)
Líneas de curvatura: verde, rojo

1. lápiz : Tori con la misma directriz (verde).
2. lápiz : Conos que contienen el círculo directriz del toro con vértices en el eje del toro (azul).
3. lápiz : planos que contienen el eje del toro dado (violeta).

Los conos azules se cruzan con el toro en círculos horizontales (rojo). Los planos violetas se cruzan en círculos verticales (verde).

Las líneas de curvatura de un toro generan una red de círculos ortogonales.

Un toro contiene más círculos: los círculos de Villarceau , que no son líneas de curvatura.

Superficie de revolución

Sistema ortogonal para una superficie de revolución (verde)

Por lo general, una superficie de revolución está determinada por una curva plana generadora (meridiano) . Girar alrededor del eje genera la superficie de revolución. El método utilizado para un cono y un toro puede extenderse a una superficie de revolución:${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle m_{0}}$

1. lápiz : Superficies paralelas a la superficie de revolución dada.
2. lápiz : Conos con ápices en el eje de revolución con generadores ortogonales a la superficie dada (azul).
3. lápiz : planos que contienen el eje de revolución (violeta).

Los conos cortan la superficie de revolución en círculos (rojo). Los planos violetas se cruzan en los meridianos (verde). Por eso:

• Las líneas de curvatura de una superficie de revolución son los círculos horizontales y los meridianos.

Cuadricos confocales

Elipsoide con líneas de curvatura

Hiperboloide con líneas de curvatura

El artículo secciones cónicas confocales también trata sobre cuadrículas confocales . Son un ejemplo destacado de un sistema ortogonal de superficies no trivial. El teorema de Dupin muestra que

las líneas de curvatura de cualquiera de las cuadrículas se pueden ver como las curvas de intersección con cuadrículas de los otros lápices (ver diagramas).

Las cuadrículas confocales nunca son cuadrículas rotacionales, por lo que el resultado en superficies de revolución (arriba) no se puede aplicar. Las líneas de curvatura son curvas ig de grado 4. (¡Las líneas de curvatura de cuadrículas rotacionales son siempre secciones cónicas!)

Elipsoide (ver diagrama)

Semiejes: . Las líneas de curvatura son secciones con un hiperboloide laminado (azul) y dos (violeta) . Los puntos rojos son puntos umbilicos .${\displaystyle \;a=1,\;b=0.8,\;c=0.6\;}$

Hiperboloide de una hoja (ver diagrama)

Semiejes: . Las líneas de curvatura son intersecciones con elipsoides (azul) e hiperboloides de dos hojas (violeta).${\displaystyle \;a=0.67,\;b=0.3,\;c=0.44\;}$

Ciclidos de Dupin

Ciclido anular con sus cónicas focales (rojo oscuro: elipse, azul oscuro: hipérbola). Violeta: superficie normal y línea común de los dos conos en el punto P

Un ciclón de Dupin y sus paralelos están determinados por un par de secciones cónicas focales. El diagrama muestra un ciclo de anillo junto con sus secciones cónicas focales (elipse: rojo oscuro, hipérbola: azul oscuro). El ciclido puede verse como un miembro de un sistema ortogonal de superficies:

1. lápiz : superficies paralelas del ciclón.
2. lápiz: conos circulares derechos a través de la elipse (sus vértices están en la hipérbola)
3. lápiz: conos circulares derechos a través de la hipérbola (sus vértices están en la elipse)

La característica especial de un ciclón es la propiedad:

Las líneas de curvatura de un ciclón de Dupin son círculos .

Prueba del teorema de Dupin

Cualquier punto de consideración está contenido exactamente en una superficie de cualquier lápiz del sistema ortogonal. Los tres parámetros que describen estas tres superficies pueden considerarse como nuevas coordenadas. Por tanto, cualquier punto puede representarse mediante:${\displaystyle u,v,w}$

${\displaystyle x=x(u,v,w)}$

${\displaystyle y=y(u,v,w)}$

${\displaystyle z=z(u,v,w)\quad }$ o en breve: ${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w)\;.}$

Para el ejemplo (cilindro) en el avance, las nuevas coordenadas son el radio del cilindro real, el ángulo entre el plano vertical y el eje xy la altura del plano horizontal. Por tanto, se puede considerar como las coordenadas cilíndricas del punto de consideración.${\displaystyle r}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle r,\varphi ,\zeta }$

La condición "las superficies se intersecan ortogonalmente" en un punto significa que las normales de la superficie son ortogonales por pares. Esto es cierto, si${\displaystyle {\vec {x}}(u,v,w)}$${\displaystyle \;{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{v}\times {\vec {x}}_{w},\;{\vec {x}}_{w}\times {\vec {x}}_{u}}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{u},\;{\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{w}\quad }$son ortogonales por pares. Esta propiedad se puede comprobar con la ayuda de la identidad de Lagrange .

Por eso

(1)${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}=0,\quad {\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{u}=0\;.}$

Derivando estas ecuaciones para la variable, que no está contenida en la ecuación, se obtiene

${\displaystyle {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}+{\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{uw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}+{\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;.}$

Resolviendo este sistema lineal para los tres productos escalares que aparecen, se obtiene:

(2)${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}=0,\quad {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}=0\;.}$

De (1) y (2) : Los tres vectores son ortogonales al vector y, por lo tanto, son lineales dependientes (están contenidos en un plano común), lo que se puede expresar mediante:${\displaystyle {\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v},{\vec {x}}_{uv}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{w}}$

(3)${\displaystyle \quad \det({\vec {x}}_{uv},{\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v})=0\;.}$

De la ecuación (1) se obtiene (coeficiente de la primera forma fundamental ) y de la ecuación (3) : (coeficiente de la segunda forma fundamental ) de la superficie .${\displaystyle F=0}$
${\displaystyle M=0}$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w_{0})}$

Consecuencia: Las curvas de los parámetros son líneas de curvatura.

El resultado análogo para las otras dos superficies a través del punto también es cierto.${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v_{0},w_{0})}$

Referencias

1. W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie 1 , Springer-Verlag, 1921, S. 63

• HSM Coxeter : Introducción a la geometría , Wiley, 1961, págs.11, 258.
• Ch. Dupin: Développements de géométrie , París 1813.
• F. Klein : Vorlesungen über Höhere Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3642886744 , pág. 9.
• Ludwig Schläfli : Über die allgemeinste Flächenschar zweiten Grades, die mit irgend zwei anderen Flächenscharen ein orthogonales System bildet , en L. Schläfli: Gesammelte mathische Abhandlungen p. 163, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034841167 . 
• J. Weingarten : Über die Bedingung, unter welcher eine Flächenfamilie einem orthogonalen Flächensystem angehört. , Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), Band 1877, Heft 83, págs. 1–12, ISSN (en línea) 1435–5345, ISSN (impreso) 0075–4102.
• TJ Willmore: Introducción a la geometría diferencial , Courier Corporation, 2013, ISBN 0486282104 , p. 295.