Hiperboloide

Hiperboloide de una hoja

superficie cónica en el medio

Hiperboloide de dos hojas

En geometría , un hiperboloide de revolución , a veces llamado hiperboloide circular , es la superficie generada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales . Un hiperboloide es la superficie que se obtiene a partir de un hiperboloide de revolución al deformarlo mediante escalados direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .

Un hiperboloide es una superficie cuádrica , es decir, una superficie definida como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuádricas, un hiperboloide se caracteriza por no ser un cono o un cilindro , tener un centro de simetría e intersecar muchos planos en hipérbolas. Un hiperboloide tiene tres pares perpendicular ejes de simetría , y tres pares perpendicular planos de simetría .

Dado un hiperboloide, si se elige un sistema de coordenadas cartesianas cuyos ejes son los ejes de simetría del hiperboloide y el origen es el centro de simetría del hiperboloide, entonces el hiperboloide puede definirse mediante una de las dos ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$

o

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$

Ambas superficies son asintóticas al cono de la ecuación

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$

La superficie es un hiperboloide de revolución si y solo si ${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$De lo contrario, los ejes se definen de forma única ( hasta el intercambio de la x eje x y la y eje x).

Hay dos tipos de hiperboloides. En el primer caso ( +1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de una hoja , también llamado hiperboloide hiperbólico . Es una superficie conectada , que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. Esto implica que cerca de cada punto la intersección del hiperboloide y su plano tangente en el punto consta de dos ramas de curva que tienen distintas tangentes en el punto. En el caso del hiperboloide de una hoja, estas ramas de curvas son líneas y, por tanto, el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada .

En el segundo caso ( -1 en el lado derecho de la ecuación): un hiperboloide de dos hojas , también llamado hiperboloide elíptico . La superficie tiene dos componentes conectados y una curvatura gaussiana positiva en cada punto. Por tanto, la superficie es convexa en el sentido de que el plano tangente en cada punto interseca a la superficie sólo en este punto.

Representaciones paramétricas

Animación de un hiperboloide de revolución

Se pueden definir coordenadas cartesianas para los hiperboloides, similares a las coordenadas esféricas , manteniendo el ángulo de acimut θ ∈ [0, 2 π ) , pero cambiando la inclinación v en funciones trigonométricas hiperbólicas :

Hiperboloide de una superficie: v ∈ (−∞, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$

Hiperboloide de dos superficies: v ∈ [0, ∞)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$

hiperboloide de una hoja: generación mediante una hipérbola giratoria (arriba) y una línea (abajo: rojo o azul)

hiperboloide de una hoja: secciones planas

La siguiente representación paramétrica incluye hiperboloides de una hoja, dos hojas y su cono de límite común, cada uno con el ${\displaystyle z}$-eje como eje de simetría:

${\displaystyle {\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$

• Para ${\displaystyle d>0}$ se obtiene un hiperboloide de una hoja,
• Para ${\displaystyle d<0}$ un hiperboloide de dos hojas, y
• Para ${\displaystyle d=0}$ un cono doble.

Se puede obtener una representación paramétrica de un hiperboloide con un eje de coordenadas diferente como eje de simetría barajando la posición del ${\displaystyle cs}$ término al componente apropiado en la ecuación anterior.

Ecuaciones generalizadas

De manera más general, un hiperboloide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define mediante la ecuación

${\displaystyle (\mathbf {x-v} )^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v} )=1,}$

donde A es una matriz y x , v son vectores .

Los vectores propios de A definen las direcciones principales del hiperboloide y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes:${\displaystyle {1/a^{2}}}$, ${\displaystyle {1/b^{2}}}$ y ${\displaystyle {1/c^{2}}}$. El hiperboloide de una hoja tiene dos valores propios positivos y un valor propio negativo. El hiperboloide de dos hojas tiene un valor propio positivo y dos valores propios negativos.

Propiedades

Hiperboloide de una hoja

Lineas en la superficie

• Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas. Es una superficie doblemente reglada .

Si el hiperboloide tiene la ecuación ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1}$ luego las lineas

${\displaystyle g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\sin \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\ ,\quad t\in \mathbb {R} ,\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \ }$

están contenidos en la superficie.

En caso ${\displaystyle a=b}$ el hiperboloide es una superficie de revolución y se puede generar girando una de las dos líneas ${\displaystyle g_{0}^{+}}$ o ${\displaystyle g_{0}^{-}}$, que están sesgados con respecto al eje de rotación (ver imagen). Esta propiedad se llama teorema de Wren . ^[1] La generación más común de un hiperboloide de revolución de una hoja es girar una hipérbola alrededor de su eje semi-menor (ver imagen; al girar la hipérbola alrededor de su otro eje se obtiene una hipérbola de revolución de dos hojas).

Un hiperboloide de una hoja es proyectivamente equivalente a un paraboloide hiperbólico .

Secciones de plano

Por simplicidad, las secciones planas de la unidad hiperboloide con ecuación${\displaystyle \ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$son considerados. Debido a que un hiperboloide en posición general es una imagen afín de la unidad hiperboloide, el resultado también se aplica al caso general.

• Un plano con una pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las líneas en el hiperboloide) se cruza ${\displaystyle H_{1}}$en una elipse ,
• Un plano con una pendiente igual a 1 que contiene el origen se interseca ${\displaystyle H_{1}}$en un par de líneas paralelas ,
• Un plano con una pendiente igual a 1 que no contiene el origen interseca ${\displaystyle H_{1}}$en una parábola ,
• Un plano tangencial se cruza ${\displaystyle H_{1}}$en un par de líneas que se cruzan ,
• Un plano no tangencial con una pendiente mayor que 1 interseca ${\displaystyle H_{1}}$en una hipérbola . ^[2]

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de una hoja contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Hiperboloide de dos hojas

hiperboloide de dos hojas: generación mediante la rotación de una hipérbola

hiperboloide de dos hojas: secciones planas

El hiperboloide de dos hojas no contiene líneas. La discusión de las secciones planas se puede realizar para la unidad hiperboloide de dos hojas con la ecuación

${\displaystyle H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1}$.

que se puede generar mediante una hipérbola giratoria alrededor de uno de sus ejes (el que corta la hipérbola)

• Un plano con pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las asíntotas de la hipérbola generadora) interseca ${\displaystyle H_{2}}$ya sea en una elipse o en un punto o no en absoluto,
• Un plano con pendiente igual a 1 que contiene el origen (punto medio del hiperboloide) no se cruza ${\displaystyle H_{2}}$ ,
• Un plano con pendiente igual a 1 que no contiene el origen interseca ${\displaystyle H_{2}}$en una parábola ,
• Un plano con pendiente mayor que 1 se cruza ${\displaystyle H_{2}}$en una hipérbola . ^[3]

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de dos hojas contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Observación: un hiperboloide de dos hojas es proyectivamente equivalente a una esfera.

Otras propiedades

Simetrías

Los hiperboloides con ecuaciones ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\ }$ están

• puntos simétricos al origen,
• simétrico a los planos de coordenadas y
• rotacional simétrico al eje zy simétrico a cualquier plano que contenga el eje z, en el caso de${\displaystyle a=b}$ (hiperboloide de revolución).

Curvatura

Mientras que la curvatura gaussiana de un hiperboloide de una hoja es negativa, la de un hiperboloide de dos hojas es positiva. A pesar de su curvatura positiva, el hiperboloide de dos láminas con otra métrica convenientemente elegida también se puede utilizar como modelo para la geometría hiperbólica.

En más de tres dimensiones

Los hiperboloides imaginarios se encuentran con frecuencia en matemáticas de dimensiones superiores. Por ejemplo, en un espacio pseudo-euclidiano se tiene el uso de una forma cuadrática :

${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$

Cuando c es cualquier constante , entonces la parte del espacio dada por

${\displaystyle \lbrace x\ :\ q(x)=c\rbrace }$

se llama hiperboloide . El caso degenerado corresponde a c = 0 .

Como ejemplo, considere el siguiente pasaje: ^[4]

... los vectores de velocidad siempre se encuentran en una superficie que Minkowski llama un hiperboloide de cuatro dimensiones ya que, expresado en términos de coordenadas puramente reales ( y ₁ , ..., y ₄ ) , su ecuación es y²
₁+ y²
₂+ y²
₃- y²
₄= −1 , análogo al hiperboloide y²
₁+ y²
₂- y²
₃= −1 del espacio tridimensional. ^[6]

Sin embargo, el término cuasiesfera también se usa en este contexto, ya que la esfera y el hiperboloide tienen algo en común (ver § Relación con la esfera a continuación).

Estructuras hiperboloides

Los hiperboloides de una hoja se utilizan en la construcción, con las estructuras llamadas estructuras hiperboloides . Un hiperboloide es una superficie doblemente reglada ; por lo tanto, se puede construir con vigas de acero rectas, produciendo una estructura fuerte a un costo menor que otros métodos. Los ejemplos incluyen torres de enfriamiento , especialmente de centrales eléctricas , y muchas otras estructuras .

• Galería de estructuras hiperboloides de una hoja
• El faro de Adziogol , Ucrania , 1911.

• Torre del puerto de Kobe , Japón , 1963.

• Planetario James S. McDonnell del Centro de Ciencias de Saint Louis , St. Louis , Missouri , 1963.

• Torre de control del aeropuerto internacional de Newcastle , Newcastle upon Tyne , Inglaterra , 1967.

• Torre de transmisión Ještěd , República Checa , 1968.

• Catedral de Brasilia , Brasil , 1970.

• Torre de agua hiperboloide con tanque toroidal , Ciechanów , Polonia , 1972.

• Roy Thomson Hall , Toronto , Canadá , 1982.

• La torre de enfriamiento THTR-300 para el reactor nuclear de torio ahora fuera de servicio en Hamm -Uentrop, Alemania , 1983.

• The Corporation Street Bridge , Manchester , Inglaterra , 1999.

• La torre de observación Killesberg , Stuttgart , Alemania , 2001.

• BMW Welt , (BMW World), museo y lugar de eventos, Munich , Alemania , 2007.

• La Torre de Cantón , China , 2010.

• La torre de agua de Essarts-le-Roi , Francia .

Relación con la esfera

En 1853 William Rowan Hamilton publicó sus Lectures on Quaternions que incluían la presentación de biquaternions . El siguiente pasaje de la página 673 muestra cómo Hamilton usa álgebra de biquaternion y vectores de cuaterniones para producir hiperboloides a partir de la ecuación de una esfera :

... la ecuación de la esfera unitaria ρ ² + 1 = 0 , y cambie el vector ρ a una forma bivector , como σ + τ √ −1 . La ecuación de la esfera luego se divide en el sistema de los dos siguientes,

σ ² - τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

y sugiere que consideremos σ y τ como dos vectores reales y rectangulares, tales que

T τ = ( T σ ² - 1) ^1/2 .

Por tanto, es fácil inferir que si asumimos σ ${\displaystyle \parallel }$ λ , donde λ es un vector en una posición dada, el nuevo vector real σ + τ terminará en la superficie de un hiperboloide equilátero de doble hoja ; y que si, por el contrario, asumimos τ ${\displaystyle \parallel }$ λ , entonces el lugar geométrico del extremo del vector real σ + τ será un hiperboloide equilátero pero de una sola hoja . El estudio de estos dos hiperboloides está, por tanto, conectado de esta manera muy simplemente, a través de biquaternions, con el estudio de la esfera; ...

En este pasaje, S es el operador que da la parte escalar de un cuaternión, y T es el "tensor", ahora llamado norma , de un cuaternión.

Una visión moderna de la unificación de la esfera y el hiperboloide utiliza la idea de una sección cónica como un corte de una forma cuadrática . En lugar de una superficie cónica , se requieren hipersuperficies cónicas en un espacio de cuatro dimensiones con puntos p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴ determinados por formas cuadráticas . Primero considere la hipersuperficie cónica

${\displaystyle P=\lbrace p\ :\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace }$ y

${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\ :\ w=r\rbrace ,}$que es un hiperplano .

Luego ${\displaystyle P\cap H_{r}}$es la esfera de radio r . Por otro lado, la hipersuperficie cónica

${\displaystyle Q=\lbrace p\ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace }$ proporciona eso ${\displaystyle Q\cap H_{r}}$ es un hiperboloide.

En la teoría de las formas cuadráticas , una cuasiesfera unitaria es el subconjunto de un espacio cuadrático X que consta de x ∈ X tal que la norma cuadrática de x es uno. ^[7]

Ver también

"> Reproducir medios

Torre hiperboloide Shukhov (1898) en Vyksa , Rusia