En la teoría de la probabilidad , el lema de Doob-Dynkin , llamado así por Joseph L. Doob y Eugene Dynkin , caracteriza la situación en la que una variable aleatoria es función de otra mediante la inclusión de la-álgebras generadas por las variables aleatorias. El enunciado habitual del lema se formula en términos de una variable aleatoria medible con respecto a la-álgebra generada por el otro.
El lema juega un papel importante en la expectativa condicional en la teoría de la probabilidad, donde permite el reemplazo del condicionamiento de una variable aleatoria mediante el condicionamiento de la-álgebra que se genera mediante la variable aleatoria.
Notaciones y comentarios introductorios
En el lema de abajo, es la recta numérica real extendida , y es el -algebra de Borel se pone en La notación indica que es una función de a y eso es medible en relación con el -álgebras y
Además, si y es un espacio medible , definimos
Uno puede comprobar fácilmente que es el mínimo -álgebra en bajo el cual es medible, es decir
Declaración del lema
Dejar ser una función de un conjunto a un espacio medible y es -mensurable. Además, deja ser una función escalar en . Luego es -medible si y solo si para alguna función medible
Nota. La parte "si" simplemente establece que la composición de dos funciones medibles es medible. La parte "solo si" se prueba a continuación.
Prueba. |
Dejar ser -mensurable. Paso 1: suponga que es una función simple , es decir para algunos conjuntos disjuntos por pares no vacíos de Si entonces la función se adapta al requisito. Paso 2: si , luego es un límite puntual de una secuencia no decreciente de funciones simples (ver el artículo sobre funciones simples para la prueba). El paso 1 garantiza que Esta igualdad, a su vez, implica que la secuencia no es decreciente, siempre que entonces la función está bien definido (finito o infinito) para cada Como límite puntual de medible -funciones valoradas, es en sí mismo medible (ver el artículo sobre funciones medibles ). Definir La mensurabilidad de se basa en la suposición de que Por lo tanto, se adapta al requisito. Paso 3: cada función medible es la diferencia de sus partes positivas y negativas, es decir donde ambos y son medibles y no negativos. El paso 2 garantiza que y Definir Dado que no es posible que y por lo mismo la igualdad nunca se sostiene, y por lo tanto está bien definido. Siendo la diferencia de dos funciones medibles, también es medible. Desde es medible, también lo es Por lo tanto, se adapta al requisito. |
Por definición, ser - medible es lo mismo que para cada set de Borel , que es lo mismo que . Entonces, el lema se puede reescribir en la siguiente forma equivalente.
Lema. Dejar y sea como arriba. Luego para alguna función Borel si y solo si .
Ver también
Referencias
- A. Bobrowski: Análisis funcional para procesos estocásticos y de probabilidad: una introducción , Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
- MM Rao, RJ Swift: teoría de la probabilidad con aplicaciones , matemáticas y sus aplicaciones, vol. 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7 doi : 10.1007 / 0-387-27731-5