Conjetura de Dyson

Theorem about the constant term of certain Laurent polynomials

Freeman Dyson en 2005

En matemáticas, la conjetura de Dyson ( Freeman Dyson  1962 ) es una conjetura sobre el término constante de ciertos polinomios de Laurent , demostrada por Wilson y Gunson. Andrews lo generalizó a la conjetura q-Dyson , probada por Zeilberger y Bressoud y a veces llamado el teorema de Zeilberger-Bressoud . Macdonald lo generalizó aún más a sistemas de raíces más generales con la conjetura del término constante de Macdonald , probada por Cherednik .

Conjetura de Dyson

La conjetura de Dyson establece que el polinomio de Laurent

${\displaystyle \prod _{1\leq i\neq j\leq n}(1-t_{i}/t_{j})^{a_{i}}}$

tiene término constante

${\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.}$

La conjetura fue probada por primera vez de forma independiente por Wilson (1962) y Gunson (1962) . Good (1970) encontró más tarde una prueba corta, al observar que los polinomios de Laurent, y por lo tanto sus términos constantes, satisfacen las relaciones de recursividad

${\displaystyle F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).}$

El caso n  = 3 de la conjetura de Dyson se deriva de la identidad de Dixon .

Sills & Zeilberger (2006) y ( Sills 2006 ) utilizaron una computadora para encontrar expresiones para coeficientes no constantes del polinomio de Laurent de Dyson.

Integral de Dyson

Cuando todos los valores a _i son iguales a β / 2, el término constante en la conjetura de Dyson es el valor de la integral de Dyson

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.}$

La integral de Dyson es un caso especial de la integral de Selberg después de un cambio de variable y tiene valor

${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}}$

lo que da otra prueba de la conjetura de Dyson en este caso especial.

q -Conjetura de Dyson

Andrews (1975) encontró un q-análogo de la conjetura de Dyson, afirmando que el término constante de

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}}$

es

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.}$

Aquí ( a ; q ) _n es el símbolo q-Pochhammer . Esta conjetura se reduce a la conjetura de Dyson para q = 1, y fue probada por Zeilberger y Bressoud (1985) , utilizando un enfoque combinatorio inspirado en trabajos previos de Ira Gessel y Dominique Foata.. Ira Gessel y Guoce Xin dieron una prueba más corta, usando una serie formal de Laurent, en 2004, y una prueba aún más corta, usando una forma cuantitativa, debida a Karasev y Petrov, e independientemente a Lason, del Combinatorial Nullstellensatz de Noga Alon. en 2012 por Gyula Karolyi y Zoltan Lorant Nagy. El último método fue ampliado, en 2013, por Shalosh B. Ekhad y Doron Zeilberger para derivar expresiones explícitas de cualquier coeficiente específico, no solo el término constante, ver http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/ mamarimhtml / qdyson.html , para obtener referencias detalladas.

Conjeturas de Macdonald

Macdonald (1982) extendió la conjetura a sistemas de raíces arbitrarios finitos o afines , con la conjetura original de Dyson correspondiente al caso del sistema de raíces A _{n −1} y la conjetura de Andrews correspondiente al sistema de raíces afines A _{n −1} . Macdonald reformuló estas conjeturas como conjeturas sobre las normas de los polinomios de Macdonald . Las conjeturas de Macdonald fueron probadas por ( Cherednik 1995 ) usando álgebras de Hecke doblemente afines.

La forma de Macdonald de la conjetura de Dyson para los sistemas de raíces de tipo BC está estrechamente relacionada con la integral de Selberg .

Referencias

• Andrews, George E. (1975), "Problemas y perspectivas de las funciones hipergeométricas básicas", Teoría y aplicación de funciones especiales (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975) , Boston, MA: Academic Press , págs. 191-224, MR  0399528
• Cherednik, I. (1995), "Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures", The Annals of Mathematics , 141 (1): 191-216, doi : 10.2307 / 2118632 , JSTOR  2118632
• Dyson, Freeman J. (1962), "Teoría estadística de los niveles de energía de sistemas complejos. I", Journal of Mathematical Physics , 3 : 140-156, doi : 10.1063 / 1.1703773 , ISSN  0022-2488 , MR  0143556
• Good, IJ (1970), "Prueba corta de una conjetura de Dyson", Journal of Mathematical Physics , 11 (6): 1884, doi : 10.1063 / 1.1665339 , ISSN  0022-2488 , MR  0258644
• Gunson, J. (1962), "Prueba de una conjetura de Dyson en la teoría estadística de los niveles de energía", Journal of Mathematical Physics , 3 (4): 752–753, doi : 10.1063 / 1.1724277 , ISSN  0022-2488 , MR  0148401
• Macdonald, IG (1982), "Algunas conjeturas para sistemas de raíces", SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137 / 0513070 , ISSN  0036-1410 , MR  0674768
• Sills, Andrew V. (2006), "Perturbar la conjetura de Dyson, de una manera generalmente BUENA", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 113 (7): 1368-1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016 / j.jcta .2005.12.005 , ISSN  1096-0899 , MR  2259066
• Sills, Andrew V .; Zeilberger, Doron (2006), "Disturbing the Dyson conjecture (in a BUEN way)" , Experimental Mathematics , 15 (2): 187-191, arXiv : 1812.04490 , doi : 10.1080 / 10586458.2006.10128959 , ISSN  1058-6458 , MR  2253005
• Wilson, Kenneth G. (1962), "Prueba de una conjetura de Dyson", Journal of Mathematical Physics , 3 (5): 1040-1043, doi : 10.1063 / 1.1724291 , ISSN  0022-2488 , MR  0144627
• Zeilberger, Doron ; Bressoud, David M. (1985), "A proof of Andrews 'q-Dyson conjecture", Discrete Mathematics , 54 (2): 201-224, doi : 10.1016 / 0012-365X (85) 90081-0 , ISSN  0012- 365X , MR  0791661