En la teoría cuántica de campos , la acción efectiva es una expresión modificada de la acción , que tiene en cuenta las correcciones mecánicas cuánticas , en el siguiente sentido:
En la mecánica clásica , las ecuaciones de movimiento pueden derivarse de la acción mediante el principio de acción estacionaria . Este no es el caso de la mecánica cuántica , donde las amplitudes de todos los movimientos posibles se suman en una integral de trayectoria . Sin embargo, si la acción es reemplazada por la acción efectiva, las ecuaciones de movimiento para los valores esperados de vacío de los campos pueden derivarse del requisito de que la acción efectiva sea estacionaria. Por ejemplo, un campocon un potencial , a baja temperatura, no se asentará en un mínimo local de, pero en un mínimo local del potencial efectivo que puede deducirse de la acción efectiva.
Además, la acción efectiva se puede utilizar en lugar de la acción en el cálculo de las funciones de correlación , y entonces solo deben tenerse en cuenta las funciones de correlación irreductibles de una partícula.
Detalles matemáticos
Todo en el siguiente artículo también se aplica a la mecánica estadística . Sin embargo, los signos y factores de i son diferentes en ese caso.
Dada la función de partición Z [ J ] en términos del campo fuente J , la energía funcional es su logaritmo.
Algunos físicos usan W en cambio, W = - E . Ver convenciones de letreros
En múltiples áreas de las matemáticas y la teoría de la información , incluida la mecánica estadística, se escribe la función de partición como
Así como Z se interpreta como la función generadora (también conocida como función característica (al) / función generadora de momentos (al) de la función de distribución de probabilidad (al) e - S [ φ ] / Z ) de los VEV / función de Schwinger ordenados en el tiempo ( también conocido como momentos ) (ver la formulación integral de trayectoria ), E (también conocido como la segunda función característica (al) / función generadora de acumuladores (al)) es el generador de VEV "conectados" ordenados en el tiempo / funciones Schwinger conectadas (es decir, los acumulantes ) donde están conectados aquí se interpreta en el sentido del teorema de descomposición de conglomerados, lo que significa que estas funciones se acercan a cero en grandes separaciones espaciales, o en aproximaciones usando diagramas de Feynman , componentes conectados del gráfico.
o
en la notación deWitt
Entonces, la función de correlación de n puntos es la suma de todas las posibles particiones de los campos involucrados en el producto en productos de funciones de correlación conectadas. Para aclarar con un ejemplo,
Suponiendo que E es una función convexa (lo cual es discutible), la transformación de Legendre da una correspondencia uno a uno entre el espacio de configuración de todos los campos fuente y su espacio vectorial dual , el espacio de configuración de todos los campos φ. Si E no es convexo, tomamos el conjugado de Fenchel en su lugar. φ aquí hay un campo clásico y no un operador de campo cuántico.
Ligeramente fuera de las convenciones de signos habituales para las transformaciones de Legendre, el valor
o
está asociada a J . Esto está de acuerdo con el tiempo ordenado VEV <φ> J . La transformada de Legendre de E es la acción efectiva (esto corresponde a la función de tasa , que es el conjugado de Fenchel de la función generadora de acumuladores , una construcción común en estadística ; por ejemplo, el límite de Chernoff )
o
dónde
y
o
Sin embargo, hay algunas advertencias, la principal es que no tenemos una verdadera correspondencia uno a uno entre los espacios de configuración dual.
Consideremos primero el caso sin renacuajos , es decirpara J = 0. En ese caso, Γ [0] da la energía del punto cero, la primera derivada funcional de Γ en φ = 0 es cero, la segunda derivada funcional da la inversa del propagador completo y la n- ésima derivada funcional para n ≥ 3 da funciones de correlación irreductibles de una partícula o funciones de correlación 1PI . La ecuación de Dyson relaciona el propagador completo, el propagador desnudo y la energía propia de 1PI. Las funciones conectadas de n puntos se dan como la suma de todos los árboles con n ≥ 3 1PI como nodos y propagadores completos como bordes.
Pero, ¿y si tenemos renacuajos? Siempre podemos ajustar la fuente J para que no haya renacuajos, es decir. Esto corresponde a agregar una regla de Feynman correspondiente a un acoplamiento a la fuente. Para cualquier diagrama de Feynman, un subpolo es un subgrafo correspondiente a un componente no conectado a ninguna de las patas externas que surge después de cortar un borde. Cualquier diagrama de Feynman con un subepolo puede evaluarse como distinto de cero, pero podemos agrupar estos diagramas en clases de equivalencia (dos diagramas conectados son equivalentes si solo varían en sus subepuestos). Por lo tanto, solo necesitamos considerar la suma de todas las gráficas conectadas sin sub-postes. La suma de todas las gráficas en una clase de equivalencia con subepuestos es cero, ya que J se ajusta de modo que. Cualquier gráfico sin sub-postes no contiene ningún acoplamiento a la fuente. Una expansión de Taylor de la acción efectiva sobre φ = 0 da los 1PI correspondientes a estos valores de la fuente de acuerdo con las reglas del párrafo anterior. Entonces, calculamos los 1PI para obtener la serie de Taylor aproximadamente. Luego, a partir de la acción efectiva que obtenemos de la serie de Taylor, encontramos el valor de φ que minimiza la acción efectiva. Esto nos da el VEV de φ cuando J = 0. Entonces, ahora realizamos una expansión de la serie de Taylor sobre este VEV después de cambiar el campo φ a una nueva redefinición de campo.(este es el método de campo de fondo ). Ahora podemos calcular las correlaciones de n puntos sobre el vacío J = 0.
Aproximación de un bucle
La aproximación de un bucle a la acción efectiva (euclidiana) es
dónde es el VEV de los campos cuánticos subyacentes , y es la segunda derivada funcional de la acción clásica evaluada en la configuración de campo clásica .
Tenga en cuenta que la presencia de índices espaciales en el lado derecho de la expresión anterior, pero sin índices espaciales en el lado izquierdo, no es un problema. Formalmente, deben estar presentes en la derivada funcional, pero en última instancia, la traza las suma. Por eso se suprimen en el lado izquierdo.
Referencias
- Goldstone, Jeffrey; Salam, Abdus; Weinberg, Steven (1 de julio de 1962). "Simetrías rotas". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 127 (3): 965–970. doi : 10.1103 / physrev.127.965 . ISSN 0031-899X .
- Jona-Lasinio, G. (1964). "Teorías de campo relativistas con soluciones que rompen la simetría" (PDF) . Il Nuovo Cimento . Springer Science and Business Media LLC. 34 (6): 1790-1795. doi : 10.1007 / bf02750573 . ISSN 0029-6341 .
- S. Weinberg: La teoría cuántica de los campos , Vol.II, Cambridge University Press 1996
- DJToms: El principio de acción de Schwinger y la acción efectiva , Cambridge University Press 2007