Forma propia

En matemáticas, una forma propia (es decir , la forma propia de Hecke simultánea con el grupo modular SL (2, Z )) es una forma modular que es un vector propio para todos los operadores de Hecke T _m , m  = 1, 2, 3, ....

Las formas propias pertenecen al ámbito de la teoría de números , pero se pueden encontrar en otras áreas de las matemáticas y la ciencia, como el análisis , la combinatoria y la física . Un ejemplo común de una forma propia, y las únicas formas propias no cúspides, son la serie de Eisenstein . Otro ejemplo es la función Δ .

Normalización

Hay dos normalizaciones diferentes para una forma propia (o para una forma modular en general).

Normalización algebraica

Se dice que una forma propia se normaliza cuando se escala de modo que el coeficiente q en su serie de Fourier sea ​​uno:

${\displaystyle f=a_{0}+q+\sum _{i=2}^{\infty }a_{i}q^{i}}$

donde q  =  e ^{2 πiz} . Como la función f también es un vector propio bajo cada operador de Hecke T _i , tiene un valor propio correspondiente. Más específicamente, a _i , i  ≥ 1 resulta ser el valor propio de f correspondiente al operador de Hecke T _i . En el caso de que f no sea una forma de cúspide, los valores propios se pueden dar explícitamente. ^[1]

Normalización analítica

Una forma propia que es cúspide se puede normalizar con respecto a su producto interno :

${\displaystyle \langle f,f\rangle =1\,}$

Existencia

La existencia de formas propias no es un resultado trivial, pero proviene directamente del hecho de que el álgebra de Hecke es conmutativa.

Niveles más altos

En el caso de que el grupo modular no sea el SL completo (2, Z ), no hay un operador de Hecke para cada n  ∈  Z , y como tal, la definición de una forma propia se cambia en consecuencia: una forma propia es una forma modular que es un vector propio simultáneo para todos los operadores de Hecke que actúan sobre el espacio.

Referencias

1. Neal Koblitz. "III.5". Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares .