En matemáticas , en particular en la teoría de formas modulares , un operador de Hecke , estudiado por Hecke ( 1937 ), es un cierto tipo de operador de "promediado" que juega un papel significativo en la estructura de espacios vectoriales de formas modulares y automórficas más generales representaciones .
Historia
Mordell ( 1917 ) utilizó operadores de Hecke en formas modulares en un artículo sobre la forma especial de cúspide de Ramanujan , por delante de la teoría general dada por Hecke (1937) error harvtxt: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFHecke1937 ( ayuda ) . Mordell demostró que la función tau de Ramanujan , expresando los coeficientes de la forma de Ramanujan,
es una función multiplicativa :
La idea se remonta al trabajo anterior de Adolf Hurwitz , quien trató las correspondencias algebraicas entre curvas modulares que realizan algunos operadores de Hecke individuales.
Descripción matemática
Los operadores de Hecke se pueden realizar en varios contextos. El significado más simple es combinatorio, es decir, tomar para un entero dado n alguna función f ( Λ ) definida en las celosías de rango fijo a
con la suma tomada sobre todos los Λ ′ que son subgrupos de Λ del índice n . Por ejemplo, con n = 2 y dos dimensiones, hay tres de este tipo Λ ′ . Las formas modulares son tipos particulares de funciones de una red, sujetas a condiciones que las hacen funciones analíticas y homogéneas con respecto a las homotecias , así como un crecimiento moderado en el infinito; estas condiciones son preservadas por la suma, por lo que los operadores de Hecke preservan el espacio de formas modulares de un peso dado.
Otra forma de expresar los operadores de Hecke es mediante dobles cosets en el grupo modular . En el enfoque adelic contemporáneo , esto se traduce en clases laterales dobles con respecto a algunos subgrupos compactos.
Fórmula explícita
Deje M m el conjunto de 2 x 2 matrices integrales con determinante m y Γ = M 1 sean la plena grupo modular SL (2, Z ) . Dada una forma modular f ( z ) de peso k , el operador m ésimo de Hecke actúa mediante la fórmula
donde z está en el semiplano superior y la constante de normalización m k −1 asegura que la imagen de una forma con coeficientes de Fourier enteros tiene coeficientes de Fourier enteros. Esto se puede reescribir en el formulario
lo que conduce a la fórmula para los coeficientes de Fourier de T m ( f ( z )) = ∑ b n q n en términos de los coeficientes de Fourier de f ( z ) = ∑ a n q n :
Se puede ver en esta fórmula explícita que los operadores de Hecke con diferentes índices conmutan y que si a 0 = 0 entonces b 0 = 0 , entonces el subespacio S k de las formas de cúspide de peso k es preservado por los operadores de Hecke. Si una forma de cúspide (distinta de cero) f es una forma propia simultánea de todos los operadores de Hecke T m con valores propios λ m, entonces a m = λ m a 1 y a 1 ≠ 0 . Las formas propias de Hecke se normalizan de modo que a 1 = 1 , entonces
Por lo tanto, para las formas propias de Hecke cúspide normalizadas de peso entero, sus coeficientes de Fourier coinciden con sus valores propios de Hecke.
Álgebras de Hecke
Los operadores de álgebras de Hecke se denominan "álgebras de Hecke" y son anillos conmutativos . En la teoría de la forma modular elíptica clásica , los operadores de Hecke T n con n coprime al nivel que actúa sobre el espacio de formas de cúspide de un peso dado son autoadjuntos con respecto al producto interno de Petersson . Por lo tanto, el teorema espectral implica que existe una base de formas modulares que son funciones propias para estos operadores de Hecke. Cada una de estas formas básicas posee un producto Euler . Más precisamente, su transformada de Mellin es la serie de Dirichlet que tiene productos de Euler con el factor local para cada primo p es la inversa [ aclaración necesaria ] del polinomio de Hecke , un polinomio cuadrático en p - s . En el caso tratado por Mordell, el espacio de formas de cúspide de peso 12 con respecto al grupo modular completo es unidimensional. De ello se deduce que la forma de Ramanujan tiene un producto de Euler y establece la multiplicatividad de τ ( n ) .
Otros anillos matemáticos relacionados también se denominan "álgebras de Hecke", aunque a veces el vínculo con los operadores de Hecke no es del todo obvio. Estas álgebras incluyen ciertos cocientes de las álgebras de grupo de grupos de trenzas . La presencia de este álgebra de operadores conmutativos juega un papel importante en el análisis armónico de formas modulares y generalizaciones.
Ver también
Referencias
- Apostol, Tom M. (1990), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97127-8 (Ver capítulo 8.)
- "Operador de Hecke" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Hecke, E. (1937), "Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. I.", Mathematische Annalen (en alemán), 114 : 1–28, doi : 10.1007 / BF01594160 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0015.40202Hecke, E. (1937), "Über Modulfunktionen und die Dirichletschen Reihen mit Eulerscher Produktentwicklung. II.", Mathematische Annalen (en alemán), 114 : 316–351, doi : 10.1007 / BF01594180 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0016.35503
- Mordell, Louis J. (1917), "Sobre las expansiones empíricas de funciones modulares del Sr. Ramanujan". , Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 : 117-124, JFM 46.0605.01
- Jean-Pierre Serre , Un curso de aritmética .
- Don Zagier , Formas modulares elípticas y sus aplicaciones , en El 1-2-3 de las formas modulares , Universitext, Springer, 2008 ISBN 978-3-540-74117-6