En geometría diferencial y física matemática , una variedad de Einstein es una variedad diferenciable riemanniana o pseudo-riemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional a la métrica . Reciben su nombre de Albert Einstein porque esta condición equivale a decir que la métrica es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío (con constante cosmológica ), aunque tanto la dimensión como la firma de la métrica pueden ser arbitrarias, por lo que no están restringidas a las variedades lorentzianas tetradimensionales que se estudian habitualmente en relatividad general . Las variedades de Einstein en cuatro dimensiones euclidianas se estudian como instantes gravitacionales .
Si M es la variedad n -dimensional subyacente y g es su tensor métrico , la condición de Einstein significa que
para alguna constante k , donde Ric denota el tensor de Ricci de g . Las variedades de Einstein con k = 0 se llaman variedades planas de Ricci .
Tomando la traza de ambos lados revela que la constante de proporcionalidad k para las variedades de Einstein está relacionada con la curvatura escalar R por
donde κ es la constante gravitacional de Einstein . [1] El tensor de tensión-energía T ab da el contenido de materia y energía del espacio-tiempo subyacente. En el vacío (una región del espacio-tiempo desprovista de materia) T ab = 0 , y la ecuación de Einstein se puede reescribir en la forma (suponiendo que n > 2 ):
Por lo tanto, las soluciones de vacío de la ecuación de Einstein son variedades de Einstein (Lorentzianas) con k proporcional a la constante cosmológica.