En física matemática y geometría diferencial , un instante gravitacional es una variedad Riemanniana completa de cuatro dimensiones que satisface las ecuaciones de Einstein del vacío . Se llaman así porque son análogos en las teorías cuánticas de la gravedad de los instantones en la teoría de Yang-Mills . De acuerdo con esta analogía con los instantones auto-duales de Yang-Mills , generalmente se supone que los instantones gravitacionales se ven como un espacio euclidiano de cuatro dimensiones a grandes distancias y que tienen un tensor de Riemann auto-dual . Matemáticamente, esto significa que son asintóticamente localmente euclidianas (o quizás asintóticamente localmente planas) hiperkähler 4-variedades , y en este sentido, son ejemplos especiales de las variedades de Einstein . Desde un punto de vista físico, un instante gravitacional es una solución no singular de las ecuaciones de Einstein al vacío con métrica positiva definida , en contraposición a la métrica de Lorentz .
Hay muchas generalizaciones posibles de la concepción original de un instantón gravitacional: por ejemplo, se puede permitir que los instantones gravitacionales tengan una constante cosmológica distinta de cero o un tensor de Riemann que no sea auto-dual. También se puede relajar la condición de frontera de que la métrica sea asintóticamente euclidiana.
Hay muchos métodos para construir instantones gravitacionales, incluidos Gibbons-Hawking Ansatz , la teoría de twistor y la construcción del cociente de hiperkähler .
Introducción
Los instantones gravitacionales son interesantes, ya que ofrecen información sobre la cuantificación de la gravedad. Por ejemplo, se necesitan métricas euclidianas locales asintóticamente definidas positivas ya que obedecen a la conjetura de acción positiva; las acciones que no están limitadas a continuación crean divergencia en la integral de la trayectoria cuántica .
- Una variedad de Kähler - Einstein de cuatro dimensiones tiene un tensor de Riemann auto-dual .
- De manera equivalente, un instanton gravitacional auto-dual es una variedad hiperkähler completa de cuatro dimensiones .
- Los instantones gravitacionales son análogos a los instantones auto-duales de Yang-Mills .
Se pueden hacer varias distinciones con respecto a la estructura del tensor de curvatura de Riemann , perteneciente a la planitud y la auto-dualidad. Éstas incluyen:
- Einstein (constante cosmológica distinta de cero)
- Planitud de Ricci (desaparición del tensor de Ricci)
- Planitud conforme (desaparición del tensor de Weyl)
- Auto-dualidad
- Anti-auto-dualidad
- Conformemente auto-dual
- Conformemente anti-auto-dual
Taxonomía
Al especificar las 'condiciones de contorno', es decir, las asintóticas de la métrica 'en el infinito' en una variedad riemanniana no compacta, los instantones gravitacionales se dividen en unas pocas clases, como los espacios euclidianos localmente asintóticamente (espacios ALE), espacios planos localmente asintóticos (ALF espacios).
Pueden caracterizarse además por si el tensor de Riemann es auto-dual, si el tensor de Weyl es auto-dual, o ninguno de los dos; sean o no variedades de Kahler ; y varias clases de características , como la característica de Euler , la firma de Hirzebruch ( clase Pontryagin ), el índice de Rarita-Schwinger ( índice de espín-3/2) o, en general, la clase de Chern . La capacidad de soportar una estructura de espín ( es decir, permitir espinores de Dirac consistentes ) es otra característica atractiva.
Lista de ejemplos
Eguchi y col. Enumere varios ejemplos de instancias gravitacionales. [1] Estos incluyen, entre otros:
- Espacio plano , el toro y el espacio Euclidiano de Sitter , es decir , la métrica estándar en las 4 esferas .
- El producto de las esferas .
- La métrica de Schwarzschild y la métrica de Kerr
- El instanton Eguchi-Hanson , dada a continuación.
- La solución Taub – NUT , que se muestra a continuación.
- La métrica de Fubini-Study en el plano proyectivo complejo [2] Tenga en cuenta que el plano proyectivo complejo no admite espinores de Dirac bien definidos. Es decir, no es una estructura de giro . Sinembargo,se le puede dar unaestructura de espina .
- Espacio de página , una métrica compacta giratoria sobre la suma directa de dos planos proyectivos complejos .
- Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking, que se muestran a continuación.
- La métrica Taub-bolt y la métrica giratoria Taub-bolt. Las métricas de "perno" tienen una singularidad de coordenadas de tipo cilíndrico en el origen, en comparación con las métricas de "tuerca", que tienen una singularidad de coordenadas de esfera. En ambos casos, la singularidad de las coordenadas se puede eliminar cambiando a coordenadas euclidianas en el origen.
- Las superficies K3 .
- Las variedades auto-duales asintóticamente localmente euclidianas, incluidos los espacios de la lente , las cubiertas dobles de los grupos diedros , el grupo tetraédrico , el grupo octaédrico y el grupo icosaédrico . Tenga en cuenta quecorresponde al instante de Eguchi-Hanson, mientras que para k superior , el corresponde a las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking.
Ésta es una lista incompleta; hay otros.
Ejemplos de
Será conveniente escribir las soluciones instantáneas gravitacionales a continuación usando formas 1 invariantes a la izquierda en las tres esferas S 3 (vistas como el grupo Sp (1) o SU (2)). Estos se pueden definir en términos de ángulos de Euler por
Tenga en cuenta que por cíclico.
Métrica Taub – NUT
Métrica de Eguchi-Hanson
El espacio de Eguchi-Hanson se define mediante una métrica, el paquete cotangente de las 2 esferas.. Esta métrica es
dónde . Esta métrica es uniforme en todas partes si no tiene una singularidad cónica en, . Para esto pasa si tiene un período de , que da una métrica plana en R 4 ; Sin embargo, para esto pasa si tiene un período de .
Asintóticamente (es decir, en el límite ) la métrica parece
que ingenuamente parece la métrica plana en R 4 . Sin embargo, para, tiene sólo la mitad de la periodicidad habitual, como hemos visto. Por tanto, la métrica es asintóticamente R 4 con la identificación, que es un subgrupo Z 2 de SO (4) , el grupo de rotación de R 4 . Por lo tanto, se dice que la métrica es asintóticamente R 4 / Z 2 .
Hay una transformación a otro sistema de coordenadas , en el que la métrica se parece a
dónde
- (Para a = 0, , y las nuevas coordenadas se definen de la siguiente manera: primero se define y luego parametriza , y por las coordenadas R 3, es decir ).
En las nuevas coordenadas, tiene la periodicidad habitual
Uno puede reemplazar V por
Para algunos n puntos, yo = 1, 2 ..., n . Esto da un instante gravitacional de Eguchi-Hanson multicéntrico, que de nuevo es suave en todas partes si las coordenadas angulares tienen las periodicidades habituales (para evitar singularidades cónicas ). El límite asintótico () es equivalente a tomar todo a cero, y cambiando las coordenadas de nuevo a r, y y redefiniendo , obtenemos la métrica asintótica
Esto es R 4 / Z n = C 2 / Z n , porque es R 4 con la coordenada angular reemplazado por , que tiene la periodicidad incorrecta ( en vez de ). En otras palabras, es R 4 identificado bajo, o, de manera equivalente, C 2 identificado bajo z i ~ z i para i = 1, 2.
Para concluir, la geometría multicéntrica de Eguchi-Hanson es una geometría plana de Kähler Ricci que es asintóticamente C 2 / Z n . Según el teorema de Yau, esta es la única geometría que satisface estas propiedades. Por lo tanto, esta es también la geometría de un orbifold C 2 / Z n en la teoría de cuerdas después de que su singularidad cónica ha sido suavizada por su "explosión" (es decir, deformación). [3]
Métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking
Las métricas multicéntricas de Gibbons-Hawking están dadas por [4] [5]
dónde
Aquí, corresponde a multi-Taub – NUT, y es un espacio plano, y y es la solución de Eguchi-Hanson (en diferentes coordenadas).
Referencias
- ^ Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B .; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Informes de física . 66 (6): 213–393. Código Bibliográfico : 1980PhR .... 66..213E . doi : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 . ISSN 0370-1573 .
- ^ Eguchi, Tohru; Freund, Peter GO (8 de noviembre de 1976). "Gravedad cuántica y topología mundial". Cartas de revisión física . 37 (19): 1251-1254. Código Bibliográfico : 1976PhRvL..37.1251E . doi : 10.1103 / physrevlett.37.1251 . ISSN 0031-9007 .
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- Gibbons, GW; Hawking, SW (octubre de 1978). "Multi-instantons gravitacionales". Physics Letters B . 78 (4): 430–432. Código bibliográfico : 1978PhLB ... 78..430G . doi : 10.1016 / 0370-2693 (78) 90478-1 .
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