Energía elástica

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La energía elástica es la energía potencial mecánica almacenada en la configuración de un material o sistema físico cuando se somete a deformación elástica por el trabajo realizado sobre él. La energía elástica se produce cuando los objetos se comprimen, estiran o deforman en general de alguna manera de manera impermanente . La teoría de la elasticidad desarrolla principalmente formalismos para la mecánica de cuerpos sólidos y materiales. ^[1] (Tenga en cuenta, sin embargo, que el trabajo realizado por una banda elástica estirada no es un ejemplo de energía elástica. Es un ejemplo de elasticidad entrópica .) La ecuación de energía potencial elástica se utiliza en los cálculos de posiciones de equilibrio mecánico.. La energía es potencial ya que se convertirá en otras formas de energía, como la energía cinética y la energía del sonido , cuando se permite que el objeto vuelva a su forma original (reforma) por su elasticidad .

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}\,}$

La esencia de la elasticidad es la reversibilidad. Las fuerzas aplicadas a un material elástico transfieren energía al material que, al ceder esa energía a su entorno, puede recuperar su forma original. Sin embargo, todos los materiales tienen límites en cuanto al grado de distorsión que pueden soportar sin romperse o alterar irreversiblemente su estructura interna. Por tanto, las caracterizaciones de materiales sólidos incluyen la especificación, normalmente en términos de deformaciones, de sus límites elásticos. Más allá del límite elástico, un material ya no almacena toda la energía del trabajo mecánico realizado en él en forma de energía elástica.

La energía elástica de una sustancia o dentro de ella es energía estática de configuración. Corresponde a la energía almacenada principalmente al cambiar las distancias interatómicas entre núcleos. La energía térmica es la distribución aleatoria de la energía cinética dentro del material, lo que da como resultado fluctuaciones estadísticas del material sobre la configuración de equilibrio. Sin embargo, existe cierta interacción. Por ejemplo, para algunos objetos sólidos, la torsión, la flexión y otras distorsiones pueden generar energía térmica, lo que hace que aumente la temperatura del material. La energía térmica en los sólidos a menudo es transportada por ondas elásticas internas, llamadas fonones.. Las ondas elásticas que son grandes en la escala de un objeto aislado generalmente producen vibraciones macroscópicas que carecen de aleatorización suficiente para que sus oscilaciones sean simplemente el intercambio repetitivo entre la energía potencial (elástica) dentro del objeto y la energía cinética de movimiento del objeto en su conjunto.

Aunque la elasticidad se asocia más comúnmente con la mecánica de cuerpos sólidos o materiales, incluso la literatura temprana sobre termodinámica clásica define y usa la "elasticidad de un fluido" en formas compatibles con la amplia definición proporcionada en la Introducción anterior. ^{[2] : 107 y siguientes.}

Los sólidos incluyen materiales cristalinos complejos con un comportamiento a veces complicado. Por el contrario, el comportamiento de los fluidos compresibles, y especialmente los gases, demuestra la esencia de la energía elástica con una complicación insignificante. La fórmula termodinámica simple: donde dU es un cambio infinitesimal en la energía interna recuperable U , P es la presión uniforme (una fuerza por unidad de área) aplicada a la muestra de material de interés, y dV es el cambio infinitesimal en el volumen que corresponde al cambio en energía interna. El signo menos aparece porque dV es negativo bajo compresión por una presión aplicada positiva que también aumenta la energía interna. Tras la inversión, el trabajo que se realiza por${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$un sistema es el negativo del cambio en su energía interna correspondiente al dV positivo de un volumen creciente. En otras palabras, el sistema pierde energía interna almacenada cuando trabaja en su entorno. La presión es tensión y el cambio volumétrico corresponde a cambiar el espaciado relativo de puntos dentro del material. La relación tensión-deformación-energía interna de la fórmula anterior se repite en formulaciones para energía elástica de materiales sólidos con estructura cristalina complicada.

Energía potencial elástica en sistemas mecánicos

Los componentes de los sistemas mecánicos almacenan energía potencial elástica si se deforman cuando se aplican fuerzas al sistema. La energía se transfiere a un objeto mediante el trabajo cuando una fuerza externa desplaza o deforma el objeto. La cantidad de energía transferida es el producto escalar vectorial de la fuerza y ​​el desplazamiento del objeto. A medida que se aplican fuerzas al sistema, se distribuyen internamente a sus componentes. Si bien parte de la energía transferida puede terminar almacenada como energía cinética de la velocidad adquirida, la deformación de los objetos componentes da como resultado energía elástica almacenada.

Un componente elástico prototípico es un resorte en espiral. El rendimiento elástico lineal del resorte está parametrizado por una constante de proporcionalidad, llamada constante de resorte. Esta constante generalmente se denota como k (ver también la Ley de Hooke ) y depende de la geometría, el área de la sección transversal, la longitud no deformada y la naturaleza del material a partir del cual se forma la bobina. Dentro de un cierto rango de deformación, k permanece constante y se define como la relación negativa entre el desplazamiento y la magnitud de la fuerza de restauración producida por el resorte en ese desplazamiento.

${\displaystyle k=-{\tfrac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$

La longitud deformada, L , puede ser mayor o menor que L _o , la longitud no deformada, por lo que para mantener k positivo, F _r debe darse como un componente vectorial de la fuerza restauradora cuyo signo es negativo para L > L _o y positivo para L < L _o . Si el desplazamiento se abrevia como

${\displaystyle (L-L_{o})=x\,}$

entonces la Ley de Hooke se puede escribir en la forma habitual

${\displaystyle F_{r}=\,-k\,x}$.

La energía absorbida y retenida en el resorte se puede derivar usando la Ley de Hooke para calcular la fuerza restauradora como una medida de la fuerza aplicada. Esto requiere la suposición, suficientemente correcta en la mayoría de las circunstancias, de que en un momento dado, la magnitud de la fuerza aplicada, F _a, es igual a la magnitud de la fuerza restauradora resultante, pero su dirección y por lo tanto su signo es diferente. En otras palabras, suponga que en cada punto del desplazamiento F _a = k x , donde F _a es la componente de la fuerza aplicada a lo largo de la dirección x

${\displaystyle {\vec {F_{a}}}\cdot {\vec {x}}=F_{a}\,x.}$

Para cada desplazamiento infinitesimal dx , la fuerza aplicada es simplemente kx y el producto de estos es la transferencia infinitesimal de energía al resorte dU . La energía elástica total colocada en el resorte desde el desplazamiento cero hasta la longitud final L es, por lo tanto, la integral

${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}{k\ x\ dx}={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$

Para un material de módulo de Young, Y (igual que el módulo de elasticidad λ ), área de sección transversal, A ₀ , longitud inicial, l ₀ , que se estira por una longitud ,:${\displaystyle \Delta l}$

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$

donde U _e es la energía potencial elástica.

La energía potencial elástica por unidad de volumen viene dada por:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$

¿Dónde está la tensión en el material?${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

In the general case, elastic energy is given by the free energy per unit of volume f as a function of the strain tensor components ε_ij

${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$

where λ and μ are the Lamé elastical coefficients and we use Einstein summation convention. Noting the thermodynamic connection between stress tensor components and strain tensor components,^[1]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$

where the subscript T denotes that temperature is held constant, then we find that if Hooke's law is valid, we can write the elastic energy density as

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$

Continuum systems

A bulk material can be distorted in many different ways: stretching, shearing, bending, twisting, etc. Each kind of distortion contributes to the elastic energy of a deformed material. In orthogonal coordinates, the elastic energy per unit volume due to strain is thus a sum of contributions:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl}}$ ,

where ${\displaystyle C_{ijkl}}$ is a 4th rank tensor, called the elastic, or sometimes stiffness, tensor^[3] which is a generalization of the elastic moduli of mechanical systems, and ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ is the strain tensor (Einstein summation notation has been used to imply summation over repeated indices). The values of ${\displaystyle C_{ijkl}}$ depend upon the crystal structure of the material: in the general case, due to symmetric nature of ${\displaystyle \sigma }$ and ${\displaystyle \varepsilon }$, the elastic tensor consists of 21 independent elastic coefficients.^[4] This number can be further reduced by the symmetry of the material: 9 for an orthorhombic crystal, 5 for an hexagonal structure, and 3 for a cubic symmetry.^[5] Finally, for an isotropic material, there are only two independent parameters, with ${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$, where ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \mu }$ are the Lamé constants, and ${\displaystyle \delta _{ij}}$ is the Kronecker delta.

The strain tensor itself can be defined to reflect distortion in any way that results in invariance under total rotation, but the most common definition which regard to which elastic tensors are usually expressed defines strain as the symmetric part of the gradient of displacement with all nonlinear terms suppressed:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})}$

where ${\displaystyle u_{i}}$ is the displacement at a point in the ${\displaystyle i^{th}}$ direction and ${\displaystyle \partial _{j}}$ is the partial derivative in the ${\displaystyle j^{th}}$ direction. Note that:

${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$

where no summation is intended. Although full Einstein notation sums over raised and lowered pairs of indices, the values of elastic and strain tensor components are usually expressed with all indices lowered. Thus beware (as here) that in some contexts a repeated index does not imply a sum overvalues of that index (${\displaystyle j}$ in this case), but merely a single component of a tensor.

See also

• Clockwork
• Rubber elasticity

References

1. Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1986). Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
2. Maxwell, J.C. (1888). Peter Pesic (ed.). Theory of Heat (9th ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-41735-2.
3. Dove, Martin T. (2003). Structure and dynamics : an atomic view of materials. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850677-5. OCLC 50022684.
4. Nye, J. F. (1985). Physical properties of crystals : their representation by tensors and matrices (1st published in pbk. with corrections, 1985 ed.). Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press. ISBN 0-19-851165-5. OCLC 11114089.
5. Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (2014-12-05). "Necessary and sufficient elastic stability conditions in various crystal systems". Physical Review B. 90 (22): 224104. arXiv:1410.0065. Bibcode:2014PhRvB..90v4104M. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121.

Sources

• ^[1]

1. Eshelby, J.D (November 1975). "The elastic energy-momentum tensor". Journal of Elasticity. 5 (3–4): 321–335. doi:10.1007/BF00126994.