La interacción electrón-fonón LA es una interacción que puede tener lugar entre un electrón y un fonón acústico longitudinal (LA) en un material como un semiconductor .
Las ecuaciones de movimiento de los átomos de masa M que se ubican en la red periódica son
,
dónde
es el desplazamiento del n- ésimo átomo de sus posiciones de equilibrio .
Definiendo el desplazamiento
de El
th átomo por
, dónde
son las coordenadas del
th átomo y
es la constante de celosía ,
el desplazamiento está dado por
Luego, usando la transformada de Fourier :
![{\displaystyle Q_{q}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\ell }u_{\ell }e^{-iqa\ell }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
.
Desde
es un operador de Hermite,
![{\displaystyle u_{\ell }={\frac {1}{2{\sqrt {N}}}}\sum _{q}(Q_{q}e^{iqa\ell }+Q_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De la definición del operador de creación y aniquilación
está escrito como
![{\displaystyle Q_{q}={\sqrt {\frac {\hbar }{2M\omega _{q}}}}(a_{-q}^{\dagger }+a_{q})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego
expresado como
![{\displaystyle u_{\ell }=\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(a_{q}e^{iqa\ell }+a_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, utilizando el modelo continuo, el operador de desplazamiento para el caso tridimensional es
,
dónde
es el vector unitario a lo largo de la dirección del desplazamiento.
La interacción entre electrones y fonones acústicos longitudinales hamiltonianos se define como
,
dónde
es el potencial de deformación para la dispersión de electrones por fonones acústicos . [1]
Insertar el vector de desplazamiento en los resultados hamiltonianos para
![{\displaystyle H_{\text{el}}=D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q)[a_{q}e^{iq\cdot r}-a_{q}^{\dagger }e^{-iq\cdot r}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La probabilidad de dispersión de electrones de
a
estados es
![{\displaystyle P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\mid \langle k',q'|H_{\text{el}}|\ k,q\rangle \mid ^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q){\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,{\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}r\,u_{k'}^{\ast }(r)u_{k}(r)e^{i(k-k'\pm q)\cdot r}\right|^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Reemplazar la integral en todo el espacio con una suma de integraciones de celdas unitarias
![{\displaystyle P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left(D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}|q|{\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,I(k,k')\delta _{k',k\pm q}\right)^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}],}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
,
es el volumen de una celda unitaria .
![{\displaystyle P(k,k')={\begin{cases}{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}n_{q}&(k'=k+q;{\text{absorption}}),\\{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}(n_{q}+1)&(k'=k-q;{\text{emission}}).\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)