En mecánica cuántica , la imagen de interacción (también conocida como la imagen de Dirac después de Paul Dirac ) es una representación intermedia entre la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg . Mientras que en las otras dos imágenes el vector de estado o los operadores tienen dependencia del tiempo, en la imagen de interacción ambos llevan parte de la dependencia temporal de los observables . [1] La imagen de interacción es útil para tratar los cambios en las funciones de onda y los observables debido a las interacciones. La mayoría de los cálculos teóricos de campo [2] utilizan la representación de interacción porque construyen la solución de la ecuación de Schrödinger de muchos cuerpos como la solución al problema de partículas libres más algunas partes de interacción desconocidas.
Las ecuaciones que incluyen operadores que actúan en diferentes momentos, que se mantienen en la imagen de interacción, no necesariamente se cumplen en la imagen de Schrödinger o Heisenberg. Esto se debe a que las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan a los operadores de una imagen con los operadores análogos de las otras.
La imagen de interacción es un caso especial de transformación unitaria aplicada a los vectores hamiltoniano y estatal.
Definición
Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.
Para cambiar a la imagen de interacción, dividimos la imagen de Schrödinger hamiltoniana en dos partes:
Cualquier posible elección de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes se elegirán típicamente de modo que H 0, S se entienda bien y se resuelva exactamente, mientras que H 1, S contenga alguna perturbación más difícil de analizar. a este sistema.
Si el hamiltoniano tiene una dependencia temporal explícita (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), generalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con H 1, S , dejando H 0, S independiente del tiempo. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si no es un contexto en el que tiene sentido tener H 0, S sea dependiente del tiempo, entonces se puede proceder mediante la sustituciónpor el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones siguientes.
Vectores de estado
Dejar ser el vector de estado dependiente del tiempo en la imagen de Schrödinger. Un vector de estado en la imagen de interacción,, se define con una transformación unitaria adicional dependiente del tiempo. [3]
Operadores
Un operador en la imagen de interacción se define como
Tenga en cuenta que un S ( t ) por lo general no dependerá de t y puede ser reescrito como apenas una S . Sólo depende de t si el operador tiene "dependencia temporal explícita", por ejemplo, debido a su dependencia de un campo eléctrico externo variable en el tiempo aplicado.
Operador hamiltoniano
Para el operador en sí, la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden:
Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces llamarse sin ambigüedad.
Por la perturbación hamiltoniana , sin emabargo,
donde el hamiltoniano de perturbación de la imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H 1, S , H 0, S ] = 0.
También es posible obtener la imagen de interacción para un Hamiltoniano dependiente del tiempo H 0, S ( t ), pero las exponenciales deben ser reemplazadas por el propagador unitario para la evolución generada por H 0, S ( t ) o más. explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.
Matriz de densidad
Se puede mostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean ρ I y ρ S las matrices de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si hay probabilidad de que p n esté en el estado físico | ψ n〉, entonces
Evolución del tiempo
Evolución temporal de los estados
Transformar la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción da
que establece que en la imagen de interacción, un estado cuántico es desarrollado por la parte de interacción del hamiltoniano como se expresa en la imagen de interacción. [4]
Comenzamos con la derivada en el tiempo de la función de onda de la imagen de interacción.
Aquí usamos la independencia temporal del imperturbable hamiltoniano , tenga en cuenta que la derivada de la exponencial también es un poco formalmente suelta, de hecho, es una derivada de un operador, no de una función
Donde definimos:
Por lo tanto, en resumen:
Es importante tener en cuenta que esta prueba es válida también en el caso en que y donde la perturbación puede depender del tiempo .
Una observación final es que esto es válido en el ámbito de la mecánica cuántica no relativista dado que el espacio de la función de onda de la imagen de interacción y el de la función de onda de la imagen de Schroedinger son equivalentes unitarios, es decir, la regla de definición para el hamiltoniano en la interacción. la imagen es de tipo donde U es unitario, es decir, heurísticamente, los dos espacios en este contexto son isomorfos. Esto no es cierto en el caso relativista y esto se estudia en el teorema de Haag .
Evolución temporal de los operadores
Si el operador A S es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; ver más arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para A I ( t ) viene dada por
En la imagen de interacción, los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano H ' = H 0 .
Evolución temporal de la matriz de densidad
La evolución de la matriz de densidad en la imagen de interacción es
en coherencia con la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción.
Valores de expectativa
Para un operador general , el valor esperado en la imagen de interacción viene dado por
Usando la expresión de matriz de densidad para el valor esperado, obtendremos
Ecuación de Schwinger-Tomonaga
El término representación de interacción fue inventado por Schwinger [6] [7] En esta nueva representación mixta, el vector de estado ya no es constante en general, pero es constante si no hay acoplamiento entre campos. El cambio de representación conduce directamente a la ecuación de Tomonaga-Schwinger: [8] [7]
Donde el hamiltoniano en este caso es la interacción QED hamiltoniana, pero también puede ser una interacción genérica, y es un espacio como una superficie que pasa por el punto . La derivada representa formalmente una variación sobre esa superficie dadareparado. Es difícil dar una interpretación matemática formal precisa de esta ecuación. [9]
Schwinger denomina a este enfoque el enfoque diferencial y de campo opuesto al enfoque integral y de partículas de los diagramas de Feynman. [10]
La idea central es que si la interacción tiene una pequeña constante de acoplamiento (es decir, en el caso de electromagnetismo del orden de la constante de estructura fina) sucesivos términos perturbativos serán potencias de la constante de acoplamiento y, por lo tanto, menores. [11]
Usar
El propósito de la imagen de interacción es desviar toda la dependencia temporal debida a H 0 hacia los operadores, permitiéndoles así evolucionar libremente y dejando solo H 1, I para controlar la evolución temporal de los vectores de estado.
La imagen interacción es conveniente cuando se considera el efecto de un pequeño término de interacción, H 1, S , que se añade a la hamiltoniano de un sistema resuelto, H 0, S . Al utilizar la imagen de interacción, se puede usar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo para encontrar el efecto de H 1, I , [12] : 355ff , por ejemplo, en la derivación de la regla de oro de Fermi , [12] : 359-363 o la serie de Dyson [12] : 355–357 en la teoría cuántica de campos : en 1947, Shin'ichirō Tomonaga y Julian Schwinger apreciaron que la teoría de la perturbación covariante podría formularse elegantemente en la imagen de interacción, ya que los operadores de campo pueden evolucionar en el tiempo como campos libres, incluso en el presencia de interacciones, ahora tratadas de forma perturbadora en una serie de Dyson.
Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes
Para un hamiltoniano independiente del tiempo H S , donde H 0, S es el hamiltoniano libre,
Evolución | Imagen ( ) | ||
de: | Heisenberg | Interacción | Schrödinger |
Estado de Ket | constante | ||
Observable | constante | ||
Matriz de densidad | constante |
Referencias
- ↑ Albert Messiah (1966). Mecánica cuántica , Holanda del Norte, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244 ; JJ Sakurai (1994). Mecánica cuántica moderna (Addison-Wesley) ISBN 9780201539295 .
- ^ JW Negele, H. Orland (1988), Sistemas cuánticos de muchas partículas, ISBN 0738200522 .
- ^ The Interaction Picture , notas de la conferencia de la Universidad de Nueva York.
- ^ Teoría cuántica de campos para el aficionado superdotado, Capítulo 18: para aquellos que vieron que esto se llamaba ecuación de Schwinger-Tomonaga, esta no es la ecuación de Schwinger-Tomonaga. Esa es una generalización de la ecuación de Schrödinger a foliaciones arbitrarias de espacio-tiempo.
- ^ Fetter y Walecka , 1971 , p. 55
- ^ Schwinger, J. (1958), artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 151, ISBN 0-486-60444-6
- ^ a b Schwinger, J. (1948), "Electrodinámica cuántica. I. Una formulación covariante". , Physical Review , 74 (10): 1439–1461
- ^ Schwinger, J. (1958), artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 151,163,170,276, ISBN 0-486-60444-6
- ^ Wakita, Hitoshi (1976), "Integración de la ecuación de Tomonaga-Schwinger", Comunicaciones en física matemática , 50 : 61-68
- ^ Schwinger y Feynman
- ^ Schwinger, J. (1958), artículos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , Dover, p. 152, ISBN 0-486-60444-6
- ^ a b c Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Mecánica cuántica moderna (2a ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914
- LD Landau ; EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
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tiene texto extra ( ayuda ) Copia en línea
- Townsend, John S. (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica, 2ª ed . Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.
Ver también
- Notación bra-ket
- Ecuación de Schrödinger
- Teorema de haag