En la física del estado sólido , la movilidad de los electrones caracteriza la rapidez con la que un electrón puede moverse a través de un metal o semiconductor , cuando es atraído por un campo eléctrico . Existe una cantidad análoga para los agujeros , denominada movilidad del agujero . El término movilidad del portador se refiere en general tanto a la movilidad de electrones como a la de huecos.
La movilidad de electrones y huecos son casos especiales de movilidad eléctrica de partículas cargadas en un fluido bajo un campo eléctrico aplicado.
Cuando se aplica un campo eléctrico E a través de una pieza de material, los electrones responden moviéndose con una velocidad promedio llamada velocidad de deriva ,. Entonces, la movilidad de los electrones μ se define como
- .
La movilidad de los electrones casi siempre se especifica en unidades de cm 2 / ( V ⋅ s ). Esto es diferente de la unidad SI de movilidad, m 2 / ( V ⋅ s ). Están relacionados por 1 m 2 / (V⋅s) = 10 4 cm 2 / (V⋅s).
La conductividad es proporcional al producto de la movilidad y la concentración de portadores. Por ejemplo, la misma conductividad podría provenir de una pequeña cantidad de electrones con alta movilidad para cada uno, o de una gran cantidad de electrones con poca movilidad para cada uno. Para los metales, normalmente no importaría cuál de estos es el caso, ya que la mayor parte del comportamiento eléctrico de los metales depende solo de la conductividad. Por tanto, la movilidad es relativamente poco importante en la física de los metales. Por otro lado, para los semiconductores, el comportamiento de los transistores y otros dispositivos puede ser muy diferente dependiendo de si hay muchos electrones con baja movilidad o pocos electrones con alta movilidad. Por tanto, la movilidad es un parámetro muy importante para los materiales semiconductores. Casi siempre, una mayor movilidad conduce a un mejor rendimiento del dispositivo, en igualdad de condiciones.
La movilidad de los semiconductores depende de las concentraciones de impurezas (incluidas las concentraciones de donantes y aceptores), la concentración de defectos, la temperatura y las concentraciones de electrones y huecos. También depende del campo eléctrico, particularmente en campos altos cuando ocurre la saturación de velocidad . Puede determinarse mediante el efecto Hall o inferirse del comportamiento del transistor.
Introducción
Velocidad de deriva en un campo eléctrico
Sin ningún campo eléctrico aplicado, en un sólido, los electrones y los huecos se mueven aleatoriamente . Por lo tanto, en promedio, no habrá movimiento general de los portadores de carga en ninguna dirección particular a lo largo del tiempo.
Sin embargo, cuando se aplica un campo eléctrico, cada electrón o agujero es acelerado por el campo eléctrico. Si el electrón estuviera en el vacío, se aceleraría a una velocidad cada vez mayor (lo que se denomina transporte balístico ). Sin embargo, en un sólido, el electrón dispersa repetidamente defectos de cristal , fonones , impurezas, etc., de modo que pierde algo de energía y cambia de dirección. El resultado final es que el electrón se mueve con una velocidad media finita, denominada velocidad de deriva . Este movimiento de electrones netos suele ser mucho más lento que el movimiento aleatorio que ocurre normalmente.
Los dos portadores de carga, electrones y huecos, normalmente tendrán diferentes velocidades de deriva para el mismo campo eléctrico.
El transporte cuasi balístico es posible en sólidos si los electrones se aceleran a una distancia muy pequeña (tan pequeña como el camino libre medio ), o durante un tiempo muy corto (tan corto como el tiempo libre medio ). En estos casos, la velocidad de deriva y la movilidad no son significativas.
Definición y unidades
La movilidad de los electrones está definida por la ecuación:
- .
dónde:
- E es la magnitud del campo eléctrico aplicado a un material,
- v d es la magnitud de la velocidad de deriva de electrones (en otras palabras, la velocidad de deriva de electrones ) causada por el campo eléctrico, y
- µ e es la movilidad de los electrones.
La movilidad del pozo se define mediante una ecuación similar:
- .
Tanto la movilidad de los electrones como la de los huecos son positivas por definición.
Por lo general, la velocidad de deriva de los electrones en un material es directamente proporcional al campo eléctrico, lo que significa que la movilidad de los electrones es una constante (independiente del campo eléctrico). Cuando esto no es cierto (por ejemplo, en campos eléctricos muy grandes), la movilidad depende del campo eléctrico.
La unidad SI de velocidad es m / s , y la unidad SI de campo eléctrico es V / m . Por lo tanto, la unidad SI de movilidad es (m / s) / (V / m) = m 2 / ( V ⋅ s ). Sin embargo, la movilidad se expresa mucho más comúnmente en cm 2 / (V⋅s) = 10 −4 m 2 / (V⋅s).
La movilidad suele ser una función importante de las impurezas del material y la temperatura, y se determina empíricamente. Los valores de movilidad se presentan típicamente en forma de tabla o gráfico. La movilidad también es diferente para electrones y huecos en un material dado.
Derivación
Comenzando con la Segunda Ley de Newton :
dónde:
- a es la aceleración entre colisiones.
- F es la fuerza eléctrica ejercida por el campo eléctrico, y
- es la masa efectiva de un electrón.
Dado que la fuerza sobre el electrón es -eE:
Ésta es la aceleración del electrón entre colisiones. Por tanto, la velocidad de deriva es:
- , dónde es el tiempo libre medio
Dado que solo nos importa cómo cambia la velocidad de deriva con el campo eléctrico, agrupamos los términos sueltos para obtener
- , dónde
Del mismo modo, para los agujeros tenemos
- , dónde
Tenga en cuenta que tanto la movilidad de los electrones como la movilidad de los huecos son positivas. Se agrega un signo menos a la velocidad de deriva de los electrones para tener en cuenta la carga negativa.
Relación con la densidad de corriente
La densidad de corriente de deriva resultante de un campo eléctrico se puede calcular a partir de la velocidad de deriva. Considere una muestra con un área de sección transversal A, longitud ly una concentración de electrones de n. La corriente transportada por cada electrón debe ser, de modo que la densidad de corriente total debida a los electrones viene dada por:
Usando la expresión para da
Un conjunto similar de ecuaciones se aplica a los agujeros (teniendo en cuenta que la carga en un agujero es positiva). Por lo tanto, la densidad de corriente debida a los agujeros viene dada por
donde p es la concentración de huecos y la movilidad del agujero.
La densidad de corriente total es la suma de los componentes del electrón y del hueco:
Relación con la conductividad
Anteriormente hemos derivado la relación entre la movilidad de los electrones y la densidad de corriente.
Ahora la ley de Ohm se puede escribir en la forma
dónde se define como la conductividad. Por tanto, podemos anotar:
que se puede factorizar para
Relación con la difusión de electrones
En una región donde nyp varían con la distancia, se superpone una corriente de difusión a la debida a la conductividad. Esta corriente de difusión se rige por la ley de Fick :
dónde:
- F es flujo.
- D e es el coeficiente de difusión o difusividad
- es el gradiente de concentración de electrones
El coeficiente de difusión para un portador de carga está relacionado con su movilidad por la relación de Einstein :
dónde:
- k B es la constante de Boltzmann
- T es la temperatura absoluta
- e es la carga eléctrica de un electrón
Ejemplos de
La movilidad típica de los electrones a temperatura ambiente (300 K) en metales como el oro , el cobre y la plata es de 30 a 50 cm 2 / (V⋅s). La movilidad del portador en los semiconductores depende del dopaje. En el silicio (Si) la movilidad de los electrones es del orden de 1.000, en el germanio alrededor de 4.000 y en el arseniuro de galio hasta 10.000 cm 2 / (V⋅s). Las movilidades de los agujeros son generalmente más bajas y oscilan entre 100 cm 2 / (V⋅s) en arseniuro de galio, 450 en silicio y 2.000 en germanio. [1]
Se ha encontrado una movilidad muy alta en varios sistemas ultrapuros de baja dimensión, como los gases de electrones bidimensionales ( 2DEG ) (35.000.000 cm 2 / (V⋅s) a baja temperatura), [2] nanotubos de carbono (100.000 cm 2 / ( V⋅s) a temperatura ambiente) [3] y grafeno independiente (200.000 cm 2 / V⋅s a baja temperatura). [4] Los semiconductores orgánicos ( polímero , oligómero ) desarrollados hasta ahora tienen movilidades de portador por debajo de 50 cm 2 / (V⋅s), y típicamente por debajo de 1, con materiales de buen desempeño medidos por debajo de 10. [5]
Material | Movilidad de electrones | Movilidad del agujero |
---|---|---|
Heteroestructuras de AlGaAs / GaAs | 35.000.000 [2] | |
Grafeno independiente | 200.000 [4] | |
Nanotubos de carbon | 79.000 [6] [7] | |
Silicio cristalino | 1.400 [1] | 450 [1] |
Silicio policristalino | 100 | |
Metales (Al, Au, Cu, Ag) | 10-50 | |
Material 2D (MoS2) | 10-50 | |
Orgánicos | 8.6 [8] | 43 [9] |
Silicio amorfo | ~ 1 [10] |
Dependencia del campo eléctrico y saturación de la velocidad.
En campos bajos, la velocidad de deriva v d es proporcional al campo eléctrico E , por lo que la movilidad μ es constante. Este valor de μ se denomina movilidad de campo bajo .
Sin embargo, a medida que aumenta el campo eléctrico, la velocidad de la portadora aumenta sublineal y asintóticamente hacia un valor máximo posible, llamado velocidad de saturación v sat . Por ejemplo, el valor de v sat es del orden de 1 × 10 7 cm / s tanto para electrones como para huecos en Si. Es del orden de 6 × 10 6 cm / s para Ge. Esta velocidad es una característica del material y una función importante de los niveles de dopaje o impurezas y la temperatura. Es una de las propiedades clave del material y del dispositivo semiconductor que determina un dispositivo como el límite máximo de velocidad de respuesta y frecuencia de un transistor.
Este fenómeno de saturación de la velocidad es el resultado de un proceso llamado dispersión óptica de fonones . En campos altos, los portadores se aceleran lo suficiente como para ganar suficiente energía cinética entre colisiones para emitir un fonón óptico, y lo hacen muy rápidamente, antes de volver a acelerarse. La velocidad que alcanza el electrón antes de emitir un fonón es:
donde ω fonón (opc.) es la frecuencia angular del fonón óptico y m * la masa efectiva de la portadora en la dirección del campo eléctrico. El valor de E phonon (opc.) Es 0.063 eV para Si y 0.034 eV para GaAs y Ge. La velocidad de saturación es solo la mitad de v emitir , porque el electrón comienza a velocidad cero y acelera hasta v emitir en cada ciclo. [11] (Esta es una descripción un tanto simplificada. [11] )
La saturación de velocidad no es el único comportamiento posible de campo alto. Otro es el efecto Gunn , donde un campo eléctrico suficientemente alto puede causar una transferencia de electrones a intervalos, lo que reduce la velocidad de deriva. Esto es inusual; el aumento del campo eléctrico casi siempre aumenta la velocidad de deriva o la deja sin cambios. El resultado es una resistencia diferencial negativa .
En el régimen de saturación de velocidad (u otros efectos de campo alto), la movilidad es una función importante del campo eléctrico. Esto significa que la movilidad es un concepto algo menos útil, en comparación con simplemente discutir la velocidad de deriva directamente.
Relación entre dispersión y movilidad
Recuerde que, por definición, la movilidad depende de la velocidad de deriva. El factor principal que determina la velocidad de deriva (diferente a la masa efectiva ) es el tiempo de dispersión , es decir, cuánto tiempo el portador es balísticamente acelerado por el campo eléctrico hasta que se dispersa (choca) con algo que cambia su dirección y / o energía. Las fuentes más importantes de dispersión en los materiales semiconductores típicos, que se analizan a continuación, son la dispersión de impurezas ionizadas y la dispersión de fonones acústicos (también denominada dispersión reticular). En algunos casos, otras fuentes de dispersión pueden ser importantes, como la dispersión de impurezas neutras, la dispersión de fonones ópticos, la dispersión de superficie y la dispersión de defectos . [12]
La dispersión elástica significa que la energía se conserva (casi) durante el evento de dispersión. Algunos procesos de dispersión elástica son la dispersión de fonones acústicos, la dispersión de impurezas, la dispersión piezoeléctrica, etc. En la dispersión de fonones acústicos, los electrones se dispersan del estado k al k ' , mientras emiten o absorben un fonón del vector de onda q . Este fenómeno generalmente se modela asumiendo que las vibraciones de la red provocan pequeños cambios en las bandas de energía. El potencial adicional que causa el proceso de dispersión se genera por las desviaciones de las bandas debido a estas pequeñas transiciones desde las posiciones de la red congelada. [13]
Dispersión de impurezas ionizadas
Los semiconductores se dopan con donantes y / o aceptores, que normalmente están ionizados y, por tanto, están cargados. Las fuerzas de Coulombic desviarán un electrón o un agujero que se acerque a la impureza ionizada. Esto se conoce como dispersión de impurezas ionizadas . La cantidad de deflexión depende de la velocidad del portador y su proximidad al ión. Cuanto más dopado esté un material, mayor será la probabilidad de que un portador choque con un ión en un tiempo determinado, y menor será el tiempo libre medio entre colisiones y menor la movilidad. Al determinar la fuerza de estas interacciones debido a la naturaleza de largo alcance del potencial de Coulomb, otras impurezas y portadores libres hacen que el rango de interacción con los portadores se reduzca significativamente en comparación con la interacción de Coulomb desnuda.
Si estos dispersores están cerca de la interfaz, la complejidad del problema aumenta debido a la existencia de defectos y desórdenes cristalinos. Los centros de captura de carga que dispersan los portadores libres se forman en muchos casos debido a defectos asociados con las uniones colgantes. La dispersión ocurre porque después de atrapar una carga, el defecto se carga y, por lo tanto, comienza a interactuar con los portadores libres. Si los portadores dispersos están en la capa de inversión en la interfaz, la dimensionalidad reducida de los portadores hace que el caso sea diferente del caso de la dispersión de impurezas a granel, ya que los portadores se mueven solo en dos dimensiones. La rugosidad interfacial también causa una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. [13]
Dispersión de celosía (fonón)
A cualquier temperatura por encima del cero absoluto , los átomos que vibran crean ondas de presión (acústicas) en el cristal, que se denominan fonones . Al igual que los electrones, los fonones pueden considerarse partículas. Un fonón puede interactuar (colisionar) con un electrón (o hueco) y dispersarlo. A temperaturas más altas, hay más fonones y, por lo tanto, una mayor dispersión de electrones, lo que tiende a reducir la movilidad.
Dispersión piezoeléctrica
El efecto piezoeléctrico solo puede ocurrir en semiconductores compuestos debido a su naturaleza polar. Es pequeño en la mayoría de los semiconductores pero puede dar lugar a campos eléctricos locales que provocan la dispersión de los portadores al desviarlos, este efecto es importante principalmente a bajas temperaturas donde otros mecanismos de dispersión son débiles. Estos campos eléctricos surgen de la distorsión de la celda unitaria básica a medida que se aplica tensión en ciertas direcciones en la red. [13]
Dispersión de rugosidad superficial
La dispersión de la rugosidad superficial causada por el desorden interfacial es una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi-bidimensionales en la interfaz. A partir de micrografías electrónicas de transmisión de alta resolución, se ha determinado que la interfaz no es abrupta a nivel atómico, pero la posición real del plano interfacial varía una o dos capas atómicas a lo largo de la superficie. Estas variaciones son aleatorias y provocan fluctuaciones de los niveles de energía en la interfaz, lo que luego provoca la dispersión. [13]
Dispersión de aleación
En los semiconductores compuestos (aleaciones), que son muchos materiales termoeléctricos, la dispersión causada por la perturbación del potencial cristalino debido al posicionamiento aleatorio de la sustitución de especies de átomos en una subred relevante se conoce como dispersión de aleación. Esto solo puede suceder en aleaciones ternarias o superiores, ya que su estructura cristalina se forma reemplazando aleatoriamente algunos átomos en una de las subredes (subredes) de la estructura cristalina. Generalmente, este fenómeno es bastante débil pero en ciertos materiales o circunstancias, puede convertirse en un efecto dominante que limita la conductividad. En materiales a granel, generalmente se ignora la dispersión de la interfaz. [13] [14] [15] [16] [17]
Dispersión inelástica
Durante los procesos de dispersión inelástica, se produce un intercambio de energía significativo. Como ocurre con la dispersión de fonones elásticos también en el caso inelástico, el potencial surge de las deformaciones de la banda de energía causadas por las vibraciones atómicas. Los fonones ópticos que provocan la dispersión inelástica suelen tener una energía en el rango de 30 a 50 meV, para comparar las energías de los fonones acústicos suelen ser inferiores a 1 meV, pero algunos pueden tener una energía del orden de 10 meV. Hay un cambio significativo en la energía portadora durante el proceso de dispersión. Los fonones ópticos o acústicos de alta energía también pueden causar dispersión por intervalos o entre bandas, lo que significa que la dispersión no está limitada dentro de un solo valle. [13]
Dispersión electrón-electrón
Debido al principio de exclusión de Pauli, se puede considerar que los electrones no interactúan si su densidad no excede el valor 10 16 ~ 10 17 cm −3 o el valor del campo eléctrico 10 3 V / cm. Sin embargo, significativamente por encima de estos límites, la dispersión de electrones comienza a dominar. El largo alcance y la no linealidad del potencial de Coulomb que gobierna las interacciones entre electrones hacen que estas interacciones sean difíciles de manejar. [13] [14] [15]
Relación entre movilidad y tiempo de dispersión
Un modelo simple proporciona la relación aproximada entre el tiempo de dispersión (tiempo promedio entre eventos de dispersión) y la movilidad. Se supone que después de cada evento de dispersión, el movimiento del portador es aleatorio, por lo que tiene una velocidad promedio cero. Después de eso, acelera uniformemente en el campo eléctrico, hasta que vuelve a dispersarse. La movilidad de deriva media resultante es: [18]
donde q es la carga elemental , m * es la masa efectiva del portador y τ es el tiempo medio de dispersión.
Si la masa efectiva es anisotrópica (dependiente de la dirección), m * es la masa efectiva en la dirección del campo eléctrico.
Regla de Matthiessen
Normalmente, está presente más de una fuente de dispersión, por ejemplo, tanto impurezas como fonones reticulares. Normalmente es una muy buena aproximación combinar sus influencias usando la "Regla de Matthiessen" (desarrollada a partir del trabajo de Augustus Matthiessen en 1864):
- .
donde µ es la movilidad real, es la movilidad que tendría el material si hubiera dispersión de impurezas pero ninguna otra fuente de dispersión, y es la movilidad que tendría el material si hubiera dispersión de fonones de celosía pero ninguna otra fuente de dispersión. Se pueden agregar otros términos para otras fuentes de dispersión, por ejemplo
- .
La regla de Matthiessen también se puede establecer en términos del tiempo de dispersión:
- .
donde τ es el tiempo de dispersión promedio real y τ impurezas es el tiempo de dispersión si hubo dispersión de impurezas pero ninguna otra fuente de dispersión, etc.
La regla de Matthiessen es una aproximación y no es universalmente válida. Esta regla no es válida si los factores que afectan la movilidad dependen unos de otros, porque las probabilidades de dispersión individuales no se pueden sumar a menos que sean independientes entre sí. [17] El tiempo libre medio de vuelo de un portaaviones y, por tanto, el tiempo de relajación es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión. [13] [14] [16] Por ejemplo, la dispersión reticular altera la velocidad promedio de los electrones (en la dirección del campo eléctrico), lo que a su vez altera la tendencia a dispersar las impurezas. Hay fórmulas más complicadas que intentan tener en cuenta estos efectos. [19]
Dependencia de la temperatura de la movilidad
Si | Ge | GaAs | |
---|---|---|---|
Electrones | ∝T −2,4 | ∝T −1,7 | ∝T −1,0 |
Agujeros | ∝T −2,2 | ∝T −2,3 | ∝T −2,1 |
Con el aumento de la temperatura, la concentración de fonones aumenta y provoca una mayor dispersión. Por tanto, la dispersión reticular reduce la movilidad del portador cada vez más a temperaturas más altas. Los cálculos teóricos revelan que la movilidad en semiconductores no polares , como el silicio y el germanio, está dominada por la interacción de fonones acústicos . Se espera que la movilidad resultante sea proporcional a T −3/2 , mientras que la movilidad debida únicamente a la dispersión óptica del fonón será proporcional a T −1/2 . Experimentalmente, los valores de la dependencia de la temperatura de la movilidad en Si, Ge y GaAs se enumeran en la tabla. [20]
Como , dónde es la sección transversal de dispersión de electrones y huecos en un centro de dispersión y es un promedio térmico (estadísticas de Boltzmann) sobre todas las velocidades de electrones o huecos en la banda de conducción inferior o banda de valencia superior, se puede determinar la dependencia de la temperatura de la movilidad. Aquí, se usa la siguiente definición para la sección transversal de dispersión: número de partículas dispersas en un ángulo sólido dΩ por unidad de tiempo dividido por el número de partículas por área por tiempo (intensidad incidente), que proviene de la mecánica clásica. Como las estadísticas de Boltzmann son válidas para semiconductores.
Para la dispersión de fonones acústicos, para temperaturas muy por encima de la temperatura de Debye, la sección transversal estimada Σ ph se determina a partir del cuadrado de la amplitud vibratoria promedio de un fonón para que sea proporcional a T. La dispersión de defectos cargados (donantes o aceptores ionizados) conduce a la sección transversal. Esta fórmula es la sección transversal de dispersión para la "dispersión de Rutherford", donde una carga puntual (portadora) se mueve más allá de otra carga puntual (defecto) que experimenta la interacción de Coulomb.
Las dependencias de temperatura de estos dos mecanismos de dispersión en semiconductores se pueden determinar combinando fórmulas para τ, Σ y , ser para la dispersión de fonones acústicos y de defectos cargados . [14] [16]
Sin embargo, el efecto de la dispersión de impurezas ionizadas disminuye con el aumento de la temperatura debido a que aumentan las velocidades térmicas promedio de los portadores. [12] Por lo tanto, los portadores pasan menos tiempo cerca de una impureza ionizada a medida que pasan y, por lo tanto, se reduce el efecto de dispersión de los iones.
Estos dos efectos operan simultáneamente en los portadores a través de la regla de Matthiessen. A temperaturas más bajas, domina la dispersión de impurezas ionizadas, mientras que a temperaturas más altas, domina la dispersión de fonones y la movilidad real alcanza un máximo a una temperatura intermedia.
Medida de la movilidad de los semiconductores.
Movilidad Hall
La movilidad del portador se mide más comúnmente mediante el efecto Hall . El resultado de la medición se denomina "movilidad Hall" (que significa "movilidad inferida a partir de una medición de efecto Hall").
Considere una muestra de semiconductor con una sección transversal rectangular como se muestra en las figuras, una corriente fluye en la dirección x y se aplica un campo magnético en la dirección z . La fuerza de Lorentz resultante acelerará los electrones ( materiales de tipo n ) o los huecos ( materiales de tipo p ) en la dirección (- y ), de acuerdo con la regla de la mano derecha y establecerá un campo eléctrico ξ y . Como resultado, hay un voltaje en la muestra, que se puede medir con un voltímetro de alta impedancia . Este voltaje, V H , se llama voltaje Hall . V H es negativo para material de tipo n y positivo para material de tipo p .
Matemáticamente, la fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga q está dada por
Para electrones:
Para agujeros:
En estado estacionario, esta fuerza se equilibra con la fuerza establecida por el voltaje de Hall, de modo que no hay fuerza neta sobre los portadores en la dirección y . Para el electrón,
Para los electrones, el campo apunta en la dirección - y , y para los huecos, apunta en la dirección + y .
La corriente de electrones I viene dada por. Sub v x en la expresión para ξ y ,
donde R Hn es el coeficiente de Hall para el electrón, y se define como
Desde
Del mismo modo, para los agujeros
A partir del coeficiente de Hall, podemos obtener la movilidad del portador de la siguiente manera:
Similar,
Aquí el valor de V Hp (tensión de Hall), t (espesor de la muestra), I (corriente) y B (campo magnético) se puede medir directamente, y las conductividades sigma n o σ p son o bien conocidos o pueden obtenerse a partir de la medición de la resistividad.
Movilidad de efecto de campo
La movilidad también se puede medir utilizando un transistor de efecto de campo (FET). El resultado de la medición se denomina "movilidad de efecto de campo" (que significa "movilidad inferida de una medición de efecto de campo").
La medición puede funcionar de dos maneras: desde mediciones en modo de saturación o mediciones de región lineal. [21] (Consulte MOSFET para obtener una descripción de los diferentes modos o regiones de funcionamiento).
Usando el modo de saturación
En esta técnica, [21] para cada voltaje de puerta fijo V GS , el voltaje de drenaje-fuente V DS se incrementa hasta que la corriente I D se satura. A continuación, se traza la raíz cuadrada de esta corriente saturada frente al voltaje de la puerta y se mide la pendiente m sat . Entonces la movilidad es:
donde L y W son la longitud y el ancho del canal y C i es la capacitancia del aislante de la puerta por unidad de área. Esta ecuación proviene de la ecuación aproximada para un MOSFET en modo de saturación:
donde V th es el voltaje umbral. Esta aproximación ignora el efecto Early (modulación de la longitud del canal), entre otras cosas. En la práctica, esta técnica puede subestimar la verdadera movilidad. [22]
Usando la región lineal
En esta técnica, [21] el transistor se opera en la región lineal (o "modo óhmico"), donde V DS es pequeño ycon desnivel m lin . Entonces la movilidad es:
- .
Esta ecuación proviene de la ecuación aproximada para un MOSFET en la región lineal:
En la práctica, esta técnica puede sobrestimar la verdadera movilidad, porque si V DS no es lo suficientemente pequeño y V G no es lo suficientemente grande, es posible que el MOSFET no permanezca en la región lineal. [22]
Movilidad óptica
La movilidad de los electrones se puede determinar a partir de mediciones de foto-reflectancia láser sin contacto . Se realizan una serie de mediciones de fotorreflectancia a medida que la muestra se enfoca por pasos. La longitud de difusión de electrones y el tiempo de recombinación se determinan mediante un ajuste regresivo a los datos. Luego, se usa la relación de Einstein para calcular la movilidad. [23] [24]
Movilidad de terahercios
La movilidad de los electrones se puede calcular a partir de la medición de la sonda de terahercios resuelta en el tiempo . [25] [26] Los pulsos de láser de femtosegundos excitan el semiconductor y la fotoconductividad resultante se mide utilizando una sonda de terahercios, que detecta cambios en el campo eléctrico de terahercios. [27]
Dependencia de la concentración de dopaje en silicio fuertemente dopado
Los portadores de carga en los semiconductores son electrones y huecos. Su número está controlado por las concentraciones de elementos de impureza, es decir, concentración de dopaje. Por tanto, la concentración de dopaje tiene una gran influencia en la movilidad del transportista.
Si bien existe una dispersión considerable en los datos experimentales , para el material no compensado (sin contradopaje) para sustratos muy dopados (es decir,y más), la movilidad en el silicio a menudo se caracteriza por la relación empírica : [28]
donde N es la concentración de dopaje (ya sea N D o N A ), y N ref y α son parámetros de ajuste. A temperatura ambiente , la ecuación anterior se convierte en:
Aerolíneas mayoritarias: [29]
Portadores minoritarios: [30]
Estas ecuaciones se aplican solo al silicio y solo en campo bajo.
Ver también
- Velocidad de la electricidad
Referencias
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enlaces externos
- Entrada del glosario de semiconductores para movilidad de electrones
- Calculadora de resistividad y movilidad de BYU Cleanroom
- Conferencia online - Movilidad desde un punto de vista atomístico