Divisores elementales

En álgebra , los divisores elementales de un módulo sobre un dominio ideal principal (PID) ocurren en una forma del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal .

Si es un PID y un módulo-finitamente generado , entonces M es isomorfo a una suma finita de la forma ${\ Displaystyle R}$ $M$ $R$

La lista de ideales primarios es única hasta el momento (pero un ideal dado puede estar presente más de una vez, por lo que la lista representa un conjunto múltiple de ideales primarios); los elementos son únicos sólo hasta la asociación y se denominan divisores elementales . Tenga en cuenta que en un PID, los ideales primarios distintos de cero son poderes de ideales primarios, por lo que los divisores elementales se pueden escribir como poderes de elementos irreductibles. El número entero no negativo se denomina rango libre o número Betti del módulo . $q_{i}$ $q_{i}=p_{i}^{r_{i}}$ $r$ $M$

El módulo se determina hasta el isomorfismo especificando su rango libre $r$ , y para la clase de elementos irreducibles asociados $py$ cada entero positivo $k$ el número de veces que $p k$ ocurre entre los divisores elementales. Los divisores elementales se pueden obtener de la lista de factores invariantes del módulo descomponiendo cada uno de ellos, en la medida de lo posible, en factores primos relativamente primos (no unitarios) por pares, que serán potencias de elementos irreductibles. Esta descomposición se corresponde con la descomposición de máximo cada submódulo correspondiente a un factor invariante usando el teorema chino del resto de R . Por el contrario, conociendo el multiset $M$ de divisores elementales, los factores invariantes se pueden encontrar, comenzando por el último (que es un múltiplo de todos los demás), de la siguiente manera. Para cada elemento irreducible $p$ tal que alguna potencia $p k$ ocurra en $M$ , tome la potencia más alta, eliminándola de $M$ , y multiplique estas potencias juntas para todas (clases de $p$ asociado) para dar el factor invariante final; siempre que $M$ no esté vacío, repita para encontrar los factores invariantes antes.