En matemáticas , en el campo de la álgebra abstracta , el teorema de estructura para los módulos finitamente generados más de un dominio de ideal principal es una generalización de la teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados y afirma más o menos que los finitamente generados módulos de más de un dominio de ideales principales (PID) pueden descomponerse de forma única de la misma manera que los números enteros tienen una factorización prima . El resultado proporciona un marco simple para comprender varios resultados de formas canónicas para matrices cuadradas sobre campos .
Declaración
Cuando un espacio vectorial sobre un campo F tiene un conjunto generador finito , entonces se puede extraer de él una base que consiste en un número finito n de vectores y, por lo tanto, el espacio es isomorfo a F n . El enunciado correspondiente con F generalizado a un dominio ideal principal R ya no es cierto, ya que es posible que no exista una base para un módulo generado finitamente sobre R. Sin embargo, tal módulo sigue siendo isomorfo a un cociente de algún módulo R n con n finito (para ver esto basta con construir el morfismo que envía los elementos de la base canónica de R n a los generadores del módulo, y tomar el cociente por su núcleo .) Al cambiar la elección del grupo electrógeno, uno puede de hecho describir el módulo como el cociente de algún R n por un submódulo particularmente simple , y este es el teorema de la estructura.
El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal generalmente aparece en las dos formas siguientes.
Descomposición de factor invariante
Por cada módulo M generado de forma finita sobre un dominio ideal principal R , existe una secuencia decreciente única de ideales propios tal que M es isomorfo a la suma de módulos cíclicos :
Los generadores de los ideales son hasta única para la multiplicación por una unidad , y se llaman factores invariantes de M . Dado que los ideales deben ser adecuados, estos factores no deben ser invertibles en sí mismos (esto evita factores triviales en la suma), y la inclusión de los ideales significa que uno tiene divisibilidad.. La parte libre es visible en la parte de la descomposición correspondiente a los factores.. Tales factores, si los hay, ocurren al final de la secuencia.
Si bien la suma directa está determinada de forma única por M , el isomorfismo que da la descomposición en sí no es único en general. Por ejemplo, si R es realmente un campo, entonces todos los ideales que ocurren deben ser cero, y se obtiene la descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita en una suma directa de subespacios unidimensionales ; el número de tales factores es fijo, es decir, la dimensión del espacio, pero hay mucha libertad para elegir los propios subespacios (si dim M > 1 ).
El distinto de cero elementos, junto con el número de que son cero, forman un conjunto completo de invariantes para el módulo. Explícitamente, esto significa que dos módulos cualesquiera que compartan el mismo conjunto de invariantes son necesariamente isomorfos.
Algunos prefieren escribir la parte libre de M por separado:
donde lo visible son distintos de cero, yf es el número deestá en la secuencia original que es 0.
Descomposición primaria
- Cada módulo M generado finitamente sobre un dominio ideal principal R es isomorfo a uno de la forma
- dónde y el son ideales primarios . La son únicos (hasta la multiplicación por unidades).
Los elementos son llamados los divisores elementales de M . En un PID, los ideales primarios distintos de cero son poderes de los números primos, por lo que. Cuándo, el módulo indecomponible resultante es sí mismo, y esto está dentro de la parte de M que es un módulo libre.
Los sumandos son indecomponibles , por lo que la descomposición primaria es una descomposición en módulos indecomponibles y, por lo tanto, cada módulo generado finitamente sobre un PID es un módulo completamente descomponible . Dado que los PID son anillos noetherianos , esto puede verse como una manifestación del teorema de Lasker-Noether .
Como antes, es posible escribir la parte libre (donde ) por separado y exprese M como:
donde lo visible son distintos de cero.
Pruebas
Una prueba procede de la siguiente manera:
- Cada módulo generado de forma finita sobre un PID también se presenta de forma finita porque un PID es noetheriano, una condición aún más fuerte que la coherencia .
- Toma una presentación, que es un mapa. (relaciones con los generadores), y ponerlo en la forma normal de Smith .
Esto produce la descomposición de factores invariantes, y las entradas diagonales de la forma normal de Smith son los factores invariantes.
Otro esbozo de una prueba:
- Denotemos por tM el submódulo de torsión de M . Entonces M / tM es un módulo libre de torsión generado finitamente , y dicho módulo sobre un PID conmutativo es un módulo libre de rango finito , por lo que es isomorfo apara un entero positivo n . Este módulo libre se puede incrustar como un submódulo F de M , de modo que la incrustación divide (es una inversa a la derecha) el mapa de proyección; basta con levantar cada uno de los generadores de M en M . Como consecuencia.
- Para un elemento primo p en R podemos entonces hablar de. Este es un submódulo de tM , y resulta que cada N p es una suma directa de módulos cíclicos, y que tM es una suma directa de N p para un número finito de primos distintos p .
- Juntando los dos pasos anteriores, M se descompone en módulos cíclicos de los tipos indicados.
Corolarios
Esto incluye la clasificación de espacios vectoriales de dimensión finita como un caso especial, donde . Dado que los campos no tienen ideales no triviales, cada espacio vectorial generado finitamente es libre.
Tomando produce el teorema fundamental de grupos abelianos generados finitamente .
Deje que T sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre K . Tomando, El álgebra de polinomios con coeficientes en K evaluados en T , se obtiene información de la estructura de T . V puede verse como un módulo finitamente generado sobre. El último factor invariante es el polinomio mínimo y el producto de factores invariantes es el polinomio característico . Combinado con una forma de matriz estándar para, esto produce varias formas canónicas :
- factores invariantes + matriz acompañante produce la forma normal de Frobenius (también conocida como forma canónica racional )
- La descomposición primaria + matriz complementaria produce una forma canónica racional primaria
- descomposición primaria + bloques de Jordan produce la forma canónica de Jordan (esta última solo se mantiene sobre un campo algebraicamente cerrado )
Unicidad
Si bien los invariantes (rango, factores invariantes y divisores elementales) son únicos, el isomorfismo entre M y su forma canónica no es único y ni siquiera conserva la descomposición de suma directa . Esto se debe a que hay automorfismos no triviales de estos módulos que no conservan los sumandos.
Sin embargo, uno tiene un submódulo de torsión canónico T y submódulos canónicos similares correspondientes a cada factor invariante (distinto), que producen una secuencia canónica:
Compare las series de composición en el teorema de Jordan-Hölder .
Por ejemplo, si , y es una base, entonces es otra base, y la matriz de cambio de base no conserva el sumando . Sin embargo, conserva la sumando, ya que este es el submódulo de torsión (de manera equivalente aquí, los elementos de 2 torsión).
Generalizaciones
Grupos
El teorema de Jordan-Hölder es un resultado más general para grupos finitos (o módulos sobre un anillo arbitrario). En esta generalidad, se obtiene una serie de composición , más que una suma directa .
El teorema de Krull-Schmidt y los resultados relacionados dan condiciones bajo las cuales un módulo tiene algo así como una descomposición primaria, una descomposición como una suma directa de módulos indecomponibles en los que los sumandos son únicos hasta el fin.
Descomposición primaria
La descomposición primaria se generaliza a módulos generados de forma finita sobre anillos conmutativos de Noether , y este resultado se denomina teorema de Lasker-Noether .
Módulos indecomponibles
Por el contrario, la descomposición única en submódulos indecomponibles no se generaliza tanto, y la falla se mide por el grupo de clase ideal , que desaparece para los PID.
En el caso de anillos que no son dominios ideales principales, la descomposición única ni siquiera es necesaria para los módulos sobre un anillo generado por dos elementos. Para el anillo R = Z [√ − 5], tanto el módulo R como su submódulo M generado por 2 y 1 + √ − 5 son independientes. Mientras que R no es isomorfo a M , R ⊕ R es isomorfo a M ⊕ M ; por lo tanto las imágenes de la M sumandos dar indescomponible submódulos L 1 , L 2 < R ⊕ R que dan una descomposición diferente de R ⊕ R . El fracaso de factorización única R ⊕ R en una suma directa indescomponibles está directamente relacionada (a través del grupo de la clase ideal) para el fracaso de la factorización única de elementos de R en elementos irreducibles de R .
Sin embargo, en un dominio de Dedekind, el grupo de clases ideal es la única obstrucción, y el teorema de la estructura se generaliza a módulos generados finitamente en un dominio de Dedekind con modificaciones menores. Todavía hay una parte de torsión única, con un complemento libre de torsión (único hasta el isomorfismo), pero un módulo libre de torsión sobre un dominio Dedekind ya no es necesariamente gratuito. Los módulos libres de torsión sobre un dominio Dedekind se determinan (hasta el isomorfismo) por rango y clase Steinitz (que toma valor en el grupo de clase ideal), y la descomposición en una suma directa de copias de R (módulos libres de rango uno) se reemplaza por un suma directa en módulos proyectivos de rango uno : los sumandos individuales no están determinados de forma única, pero la clase Steinitz (de la suma) sí lo está.
Módulos no generados de forma finita
De manera similar, para los módulos que no se generan de forma finita, no se puede esperar una descomposición tan agradable: incluso el número de factores puede variar. Hay Z -submodules de Q 4 que son simultáneamente sumas directas de dos módulos indescomponibles y sumas directas de tres módulos indescomponibles, que muestra el análogo de la descomposición primaria no puede sostener para módulos generados infinitamente, incluso sobre los números enteros, Z .
Otro problema que surge con los módulos generados de forma no finita es que hay módulos libres de torsión que no son gratuitos. Por ejemplo, considere el anillo Z de números enteros. Entonces Q es un módulo Z sin torsión que no es gratis. Otro ejemplo clásico de tal módulo es el grupo de Baer-Specker , el grupo de todas las secuencias de números enteros bajo la suma de términos. En general, la cuestión de qué grupos abelianos libres de torsión generados infinitamente son libres depende de qué grandes cardenales existen. Una consecuencia es que cualquier teorema de estructura para módulos generados infinitamente depende de una elección de axiomas de la teoría de conjuntos y puede ser inválido con una elección diferente.
Referencias
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.a ed.), Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
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- Jacobson, Nathan (1985), Álgebra básica. I (2 ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. Xviii + 499, ISBN 0-7167-1480-9, MR 0780184
- Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Posgrado en Matemáticas No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5