función de lamé

En matemáticas, una función de Lamé , o función armónica elipsoidal , es una solución de la ecuación de Lamé , una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden . Fue introducido en el periódico ( Gabriel Lamé 1837 ). La ecuación de Lamé aparece en el método de separación de variables aplicado a la ecuación de Laplace en coordenadas elípticas . En algunos casos especiales, las soluciones se pueden expresar en términos de polinomios llamados polinomios de Lamé .

donde A y B son constantes, y es la función elíptica de Weierstrass . El caso más importante es cuando , donde es la función seno elíptica , y para un número entero n y el módulo elíptico, en cuyo caso las soluciones se extienden a funciones meromórficas definidas en todo el plano complejo. Para otros valores de B las soluciones tienen puntos de bifurcación . ${\ estilo de visualización \ wp}$ $B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {sn}}$ ${\ estilo de visualización \ kappa ^ {2} = n (n + 1) k ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización k}$

Al cambiar la variable independiente a con , la ecuación de Lamé también se puede reescribir en forma algebraica como ${\ estilo de visualización t}$ $t=\operatorname {sn} x$

Una forma más general de la ecuación de Lamé es la ecuación elipsoidal o la ecuación de onda elipsoidal que se puede escribir (observe que ahora escribimos , no como arriba) ${\ estilo de visualización \ Lambda}$ ${\ estilo de visualización A}$

donde es el módulo elíptico de las funciones elípticas jacobianas y y son constantes. Porque la ecuación se convierte en la ecuación de Lamé con . Porque la ecuación se reduce a la ecuación de Mathieu ${\ estilo de visualización k}$ ${\ estilo de visualización \ kappa}$ ${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\ estilo de visualización \ Omega = 0}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda = A}$ $\Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}$

La forma de Weierstrassian de la ecuación de Lamé es bastante inadecuada para el cálculo (como también señala Arscott, p. 191). La forma más adecuada de la ecuación es la forma jacobiana, como se indicó anteriormente. Las formas algebraicas y trigonométricas también son engorrosas de usar. Las ecuaciones de Lamé surgen en la mecánica cuántica como ecuaciones de pequeñas fluctuaciones sobre soluciones clásicas, llamadas instantones periódicos , rebotes o burbujas, de las ecuaciones de Schrödinger para varios potenciales periódicos y anarmónicos. ^[1]^[2]