En geometría , el sistema de coordenadas elípticas es un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son elipses e hipérbolas confocales . Los dos focos y generalmente se consideran fijos en y , respectivamente, en el -eje del sistema de coordenadas cartesianas .
Definición básica
La definición más común de coordenadas elípticas. es
dónde es un número real no negativo y
En el plano complejo , una relación equivalente es
Estas definiciones corresponden a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica
muestra que las curvas de constante forman elipses , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica
muestra que las curvas de constante formar hipérbolas .
Factores de escala
En un sistema de coordenadas ortogonales, las longitudes de los vectores base se conocen como factores de escala. Los factores de escala para las coordenadas elípticas son iguales a
Usando las identidades de doble argumento para funciones hiperbólicas y funciones trigonométricas , los factores de escala se pueden expresar de manera equivalente como
En consecuencia, un elemento infinitesimal de área es igual a
y el laplaciano lee
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Definición alternativa
Un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas a veces se utilizan, donde y . Por tanto, las curvas de constante son elipses, mientras que las curvas de constante son hipérbolas. La coordenada debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que el la coordenada debe ser mayor o igual a uno.
Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano, la suma de sus distancias a los focos es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por lo tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recordar que y están ubicados en y , respectivamente.)
Un inconveniente de estas coordenadas es que los puntos con coordenadas cartesianas (x, y) y (x, -y) tienen las mismas coordenadas, por lo que la conversión a coordenadas cartesianas no es una función, sino una multifunción .
Factores de escala alternativos
Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas están
Por lo tanto, el elemento de área infinitesimal se convierte en
y el laplaciano es igual
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Extrapolación a dimensiones superiores
Las coordenadas elípticas forman la base de varios conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales :
- Las coordenadas cilíndricas elípticas se producen proyectando en el-dirección.
- Las coordenadas esferoidales alargadas se producen al girar las coordenadas elípticas alrededor de laeje, es decir, el eje que conecta los focos, mientras que las coordenadas esferoidales achatadas se producen al girar las coordenadas elípticas alrededor de la-eje, es decir, el eje que separa los focos.
- Las coordenadas elipsoidales son una extensión formal de coordenadas elípticas en 3 dimensiones, que se basa en elipsoides confocales, hiperboloides de una y dos hojas.
Aplicaciones
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas elípticas son una descripción natural de un sistema permitiendo así una separación de variables en las ecuaciones diferenciales parciales . Algunos ejemplos tradicionales son los sistemas de resolución como los electrones que orbitan una molécula o las órbitas planetarias que tienen forma elíptica.
Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden resultar útiles. Un ejemplo típico podría involucrar una integración sobre todos los pares de vectores. y esa suma a un vector fijo , donde el integrando era una función de las longitudes del vector y . (En tal caso, uno colocaría entre los dos focos y alineado con el -eje, es decir, .) Por concreción, , y podría representar los momentos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría involucrar las energías cinéticas de los productos (que son proporcionales a las longitudes cuadradas de los momentos).
Ver también
Referencias
- "Coordenadas elípticas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Korn GA y Korn TM . (1961) Manual de matemáticas para científicos e ingenieros , McGraw-Hill.
- Weisstein, Eric W. "Coordenadas cilíndricas elípticas". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html