En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de y . Cuando no puede surgir confusión, otros autores usan el término para referirse específicamente a- o -Soluciones periódicas, que existen solo para valores especiales de y . [4] Más precisamente, por dado (real) tales soluciones periódicas existen para un número infinito de valores de , llamados números característicos , indexados convencionalmente como dos secuencias separadas y , por . Las funciones correspondientes se indican y , respectivamente. A veces también se les conoce como funciones de coseno-elíptica y seno-elíptica , o funciones de Mathieu del primer tipo .
Como resultado de asumir que es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas tienen valores reales. [5]
y pueden clasificarse además por paridad y periodicidad (ambas con respecto a), como sigue: [4]
Función
Paridad
Período
incluso
incluso
impar
impar
La indexación con el entero , además de servir para ordenar los números característicos en orden ascendente, conviene en que y volverse proporcional a y como . Con siendo un número entero, esto da lugar a la clasificación de y como funciones de Mathieu (del primer tipo) de orden integral. En general y , se pueden definir soluciones además de estas, incluidas funciones de Mathieu de orden fraccionario, así como soluciones no periódicas.
Funciones de Mathieu modificadas
Estrechamente relacionadas están las funciones de Mathieu modificadas , también conocidas como funciones radiales de Mathieu, que son soluciones de la ecuación diferencial modificada de Mathieu.
que se puede relacionar con la ecuación de Mathieu original tomando . En consecuencia, las funciones de Mathieu modificadas del primer tipo de orden integral, denotado por y , se definen a partir de [6]
Estas funciones tienen valor real cuando es real.
Normalización
Una normalización común, [7] que se adoptará a lo largo de este artículo, es exigir
así como requerir y como .
Teoría de floquet
Muchas propiedades de la ecuación diferencial de Mathieu se pueden deducir de la teoría general de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes periódicos, llamada teoría de Floquet . El resultado central es el teorema de Floquet :
Teorema de Floquet [8] : la ecuación de Mathieu siempre tiene al menos una solución tal que , dónde es una constante que depende de los parámetros de la ecuación y puede ser real o compleja.
Es natural asociar los números característicos con esos valores de que resulta en . [9] Sin embargo, tenga en cuenta que el teorema solo garantiza la existencia de al menos una solución que satisfaga, cuando la ecuación de Mathieu de hecho tiene dos soluciones independientes para cualquier , . De hecho, resulta que con igual a uno de los números característicos, la ecuación de Mathieu tiene solo una solución periódica (es decir, con período o ), y esta solución es una de las , . La otra solución no es periódica, se denota y , respectivamente, y se denomina función de Mathieu del segundo tipo . [10] Este resultado se puede establecer formalmente como el teorema de Ince :
Teorema de Ince [11] - Defina una función básicamente periódica como una que satisfaga . Entonces, excepto en el caso trivial , La ecuación de Mathieu nunca posee dos soluciones (independientes) básicamente periódicas para los mismos valores de y .
Un ejemplo del teorema de Floquet, con , , (parte real, rojo; parte imaginaria, verde)
Un enunciado equivalente del teorema de Floquet es que la ecuación de Mathieu admite una solución de forma con valores complejos
dónde es un número complejo, el exponente de Floquet (o, a veces, el exponente de Mathieu ), y es una función de valor complejo periódica en con punto . Un ejemplo se traza a la derecha.
Otros tipos de funciones de Mathieu
Segundo tipo
Dado que la ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de segundo orden, se pueden construir dos soluciones linealmente independientes. La teoría de Floquet dice que sies igual a un número característico, una de estas soluciones puede tomarse como periódica y la otra no periódica. La solución periódica es una de las y , llamada función de Mathieu del primer tipo de orden integral. El no periódico se denota ya sea y , respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo (de orden integral). Las soluciones no periódicas son inestables, es decir, divergen como. [12]
Las segundas soluciones correspondientes a las funciones de Mathieu modificadas y se definen naturalmente como y .
Orden fraccional
Las funciones de Mathieu de orden fraccionario se pueden definir como esas soluciones y , un no entero, que se convierte en y como . [6] Sies irracional, no es periódica; sin embargo, permanecen delimitados como.
Una propiedad importante de las soluciones y , por no entero, es que existen por el mismo valor de . En contraste, cuando es un entero, y nunca ocurren por el mismo valor de . (Consulte el teorema de Ince más arriba).
Estas clasificaciones se resumen en la siguiente tabla. Las contrapartes de la función Mathieu modificada se definen de manera similar.
Las funciones de Mathieu del primer tipo se pueden representar como series de Fourier : [4]
Los coeficientes de expansión y son funciones de pero independiente de . Mediante la sustitución en la ecuación de Mathieu, se puede demostrar que obedecen a relaciones de recurrencia de tres términos en el índice inferior. Por ejemplo, para cadauno encuentra [14]
Siendo una recurrencia de segundo orden en el índice , siempre se pueden encontrar dos soluciones independientes y tal que la solución general se puede expresar como una combinación lineal de los dos: . Además, en este caso particular, un análisis asintótico [15] muestra que una posible elección de soluciones fundamentales tiene la propiedad
En particular, es finito mientras que diverge. Escritura, por lo tanto, vemos que para la representación en serie de Fourier de para converger, debe ser elegido de tal manera que . Estas elecciones de corresponden a los números característicos.
Sin embargo, en general, la solución de una recurrencia de tres términos con coeficientes variables no se puede representar de manera simple y, por lo tanto, no existe una manera simple de determinar de la condición . Además, incluso si se conoce el valor aproximado de un número de característica, no se puede utilizar para obtener los coeficientes iterando numéricamente la recurrencia hacia el aumento . La razón es que mientras solo se aproxima a un número característico, no es idénticamente y la solución divergente eventualmente domina por lo suficientemente grande .
Para superar estos problemas, se requieren enfoques semianalíticos / numéricos más sofisticados, por ejemplo, utilizando una expansión de fracción continua , [16] [4] planteando la recurrencia como un problema de valores propios de la matriz , [17] o implementando un algoritmo de recurrencia hacia atrás. [15] La complejidad de la relación de recurrencia de tres términos es una de las razones por las que hay pocas fórmulas e identidades simples que involucren funciones de Mathieu. [18]
En la práctica, las funciones de Mathieu y los números de característica correspondientes se pueden calcular utilizando software preempaquetado, como Mathematica , Maple , MATLAB y SciPy . Para pequeños valores de y bajo orden , también pueden expresarse perturbativamente como series de potencias de , que puede resultar útil en aplicaciones físicas. [19]
Segundo tipo
Hay varias formas de representar funciones de Mathieu del segundo tipo. [20] Una representación es en términos de funciones de Bessel : [21]
dónde , y y son funciones de Bessel de primer y segundo tipo.
Funciones modificadas
Un enfoque tradicional para la evaluación numérica de las funciones de Mathieu modificadas es mediante la serie de productos de funciones de Bessel. [22] Para grandes y , la forma de la serie debe elegirse con cuidado para evitar errores de resta. [23] [24]
Propiedades
Hay relativamente pocas expresiones e identidades analíticas que involucren funciones de Mathieu. Además, a diferencia de muchas otras funciones especiales, las soluciones de la ecuación de Mathieu no pueden expresarse en general en términos de funciones hipergeométricas . Esto se puede ver mediante la transformación de la ecuación de Mathieu a forma algebraica, usando el cambio de variable:
Dado que esta ecuación tiene un punto singular irregular en el infinito, no se puede transformar en una ecuación del tipo hipergeométrico. [18]
Comportamiento cualitativo
Gráficos de muestra de funciones de Mathieu del primer tipo
Lote de para variar
Para pequeños , y comportarse de manera similar a y . Por arbitrario, pueden desviarse significativamente de sus contrapartes trigonométricas; sin embargo, siguen siendo periódicos en general. Además, para cualquier, y tener exactamente ceros simples en, y como los ceros se agrupan sobre . [25] [26]
Para y como las funciones de Mathieu modificadas tienden a comportarse como funciones periódicas amortiguadas.
A continuación, el y factores de las expansiones de Fourier para y se puede hacer referencia (consulte Representación y cálculo explícitos ). Dependen de y pero son independientes de .
Reflexiones y traducciones
Por su paridad y periodicidad, y tienen propiedades simples bajo reflexiones y traslaciones por múltiplos de : [6]
También se pueden escribir funciones con negativo en términos de aquellos con positivo : [4] [27]
Es más,
Ortogonalidad e integridad
Como sus contrapartes trigonométricas y , las funciones periódicas de Mathieu y satisfacer las relaciones de ortogonalidad
Además, con fijo y tratada como el valor propio, la ecuación de Mathieu tiene la forma de Sturm-Liouville . Esto implica que las funciones propias y formar un conjunto completo, es decir, cualquier - o -función periódica de se puede ampliar como una serie en y . [3]
Identidades integrales
Las soluciones de la ecuación de Mathieu satisfacen una clase de identidades integrales con respecto a los núcleos. que son soluciones de
Más precisamente, si resuelve la ecuación de Mathieu con y , luego la integral
dónde es un camino en el plano complejo , también resuelve la ecuación de Mathieu con el mismo y , siempre que se cumplan las siguientes condiciones: [28]
resuelve
En las regiones consideradas, existe y es analítico
tiene el mismo valor en los puntos finales de
Usando un cambio apropiado de variables, la ecuación para se puede transformar en la ecuación de onda y resolver. Por ejemplo, una solución es. Ejemplos de identidades obtenidas de esta manera son [29]
Las identidades del último tipo son útiles para estudiar las propiedades asintóticas de las funciones de Mathieu modificadas. [30]
También existen relaciones integrales entre funciones de primer y segundo tipo, por ejemplo: [21]
valido para cualquier complejo y real .
Expansiones asintóticas
Las siguientes expansiones asintóticas son válidas para , , , y : [31]
Por lo tanto, las funciones de Mathieu modificadas decaen exponencialmente para un gran argumento real. Se pueden anotar expansiones asintóticas similares para y ; estos también decaen exponencialmente para grandes argumentos reales.
Para las funciones periódicas pares e impares de Mathieu y los números de característica asociados También se pueden derivar expansiones asintóticas para grandes . [32] Para los números característicos en particular, se tiene con aproximadamente un entero impar, es decir
Observe la simetría aquí al reemplazar y por y , que es una característica importante de la expansión. Los términos de esta expansión se han obtenido explícitamente hasta e incluyendo el término del pedido.. [33] Aquí es sólo aproximadamente un número entero impar porque en el límite de todos los segmentos mínimos del potencial periódico se convierten en osciladores armónicos efectivamente independientes (por lo tanto un entero impar). Disminuyendo, hacer un túnel a través de las barreras se hace posible (en lenguaje físico), lo que lleva a una división de los números característicos (en mecánica cuántica llamados valores propios) correspondientes a funciones periódicas de Mathieu pares e impares. Esta división se obtiene con condiciones de contorno [33] (en mecánica cuántica, esto proporciona la división de los valores propios en bandas de energía). [34] Las condiciones de contorno son:
La imposición de estas condiciones de contorno en las funciones periódicas asintóticas de Mathieu asociadas con la expansión anterior para Se obtiene
Los números característicos o valores propios correspondientes siguen luego por expansión, es decir
La inserción de las expresiones apropiadas anteriores produce el resultado
Para Estos son los valores propios asociados con las funciones propias de Mathieu pares. o (es decir, con el signo menos superior) y funciones propias de Mathieu impares o (es decir, con signo más bajo, más). Las expansiones explícitas y normalizadas de las funciones propias se pueden encontrar en [33] o. [34]
Se pueden obtener expansiones asintóticas similares para las soluciones de otras ecuaciones diferenciales periódicas, como para las funciones de Lamé y funciones de onda esferoidales alargadas y oblatas .
Aplicaciones
Las ecuaciones diferenciales de Mathieu aparecen en una amplia gama de contextos en ingeniería, física y matemáticas aplicadas. Muchas de estas aplicaciones caen en una de dos categorías generales: 1) el análisis de ecuaciones diferenciales parciales en geometrías elípticas, y 2) problemas dinámicos que involucran fuerzas periódicas en el espacio o en el tiempo. Los ejemplos dentro de ambas categorías se analizan a continuación.
Ecuaciones diferenciales parciales
Las funciones de Mathieu surgen cuando la separación de variables en coordenadas elípticas se aplica a 1) la ecuación de Laplace en 3 dimensiones y 2) la ecuación de Helmholtz en 2 o 3 dimensiones. Dado que la ecuación de Helmholtz es una ecuación prototípica para modelar la variación espacial de ondas clásicas, las funciones de Mathieu se pueden utilizar para describir una variedad de fenómenos ondulatorios. Por ejemplo, en electromagnetismo computacional se pueden utilizar para analizar la dispersión de ondas electromagnéticas de cilindros elípticos y la propagación de ondas en guías de ondas elípticas . [35] En relatividad general , se puede dar una solución de onda plana exacta a la ecuación de campo de Einstein en términos de funciones de Mathieu.
Más recientemente, las funciones de Mathieu se han utilizado para resolver un caso especial de la ecuación de Smoluchowski , que describe las estadísticas de estado estable de partículas autopropulsadas . [36]
El resto de esta sección detalla el análisis de la ecuación bidimensional de Helmholtz. [37] En coordenadas rectangulares, la ecuación de Helmholtz es
Las coordenadas elípticas están definidas por
dónde , , y es una constante positiva. La ecuación de Helmholtz en estas coordenadas es
El constante las curvas son elipses confocales con distancia focal; por lo tanto, estas coordenadas son convenientes para resolver la ecuación de Helmholtz en dominios con límites elípticos. Separación de variables mediante produce las ecuaciones de Mathieu
dónde es una constante de separación.
Como ejemplo físico específico, la ecuación de Helmholtz se puede interpretar como una descripción de los modos normales de una membrana elástica bajo tensión uniforme . En este caso, se imponen las siguientes condiciones físicas: [38]
Periodicidad con respecto a , es decir
Continuidad del desplazamiento a través de la línea interfocal:
Continuidad de la derivada a través de la línea interfocal:
Por dado , esto restringe las soluciones a las de la forma y , dónde . Esto es lo mismo que restringir los valores permitidos de, por dado . Restricciones sobre luego surgen debido a la imposición de condiciones físicas en alguna superficie delimitante, como un límite elíptico definido por . Por ejemplo, sujetar la membrana en impone , que a su vez requiere
Estas condiciones definen los modos normales del sistema.
Problemas dinámicos
En problemas dinámicos con fuerzas que varían periódicamente, la ecuación de movimiento a veces toma la forma de la ecuación de Mathieu. En tales casos, el conocimiento de las propiedades generales de la ecuación de Mathieu, particularmente con respecto a la estabilidad de las soluciones, puede ser esencial para comprender las características cualitativas de la dinámica física. [39] Un ejemplo clásico en este sentido es el péndulo invertido . [40] Otros ejemplos son
vibraciones de una cuerda con tensión que varía periódicamente [39]
estabilidad de los rieles del ferrocarril cuando los trenes pasan sobre ellos
dinámica de población forzada estacionalmente
el fenómeno de la resonancia paramétrica en osciladores forzados
movimiento de iones en una trampa de iones cuadrupolo [41]
el efecto Stark para un dipolo eléctrico giratorio
la teoría de Floquet de la estabilidad de los ciclos límite
Mecánica cuántica
Las funciones de Mathieu juegan un papel en ciertos sistemas de mecánica cuántica, particularmente aquellos con potenciales espacialmente periódicos como el péndulo cuántico y las redes cristalinas .
La ecuación de Mathieu modificada también surge al describir la mecánica cuántica de potenciales singulares. Por el potencial singular particularla ecuación radial de Schrödinger
se puede convertir en la ecuación
La transformación se logra con las siguientes sustituciones
Al resolver la ecuación de Schrödinger (para este potencial particular) en términos de soluciones de la ecuación de Mathieu modificada, se pueden obtener propiedades de dispersión como la matriz S y la absortividad . [42]
Ver también
Lista de funciones matemáticas
Ecuación diferencial de colina
Función Lamé
Onda plana electromagnética monocromática
Péndulo invertido
Notas
^ Mathieu (1868).
^ Morse y Feshbach (1953).
↑ a b Gutiérrez-Vega (2015).
↑ a b c d e Arscott (1964), capítulo III
↑ Arscott (1964) 43–44
↑ a b c McLachlan (1947), capítulo II.
^ Arscott (1964); Iyanaga (1980); Gradshteyn (2007); Esta es también la normalización utilizada por el sistema de álgebra computacional Maple .
↑ Arscott (1964), p. 29.
^ No es cierto, en general, que un la función periódica tiene la propiedad . Sin embargo, esto resulta ser cierto para funciones que son soluciones de la ecuación de Mathieu.
^ McLachlan (1951), págs. 141-157, 372
↑ Arscott (1964), p. 34
^ McLachlan (1947), p. 144
^ McLachlan (1947), p. 372
^ McLachlan (1947), p. 28
↑ a b Wimp (1984), págs. 83-84
↑ McLachlan (1947)
^ Chaos-Cador y Ley-Koo (2001)
↑ a b Temme (2015), pág. 234
^ Müller-Kirsten (2012), págs. 420-428
^ Meixner y Schäfke (1954); McLachlan (1947)
↑ a b Malits (2010)
^ Jin y Zhang (1996)
^ Van Buren y Boisvert (2007)
^ Bibby y Peterson (2013)
^ Meixner y Schäfke (1954), p.134
^ McLachlan (1947), págs. 234-235
^ Gradshteyn (2007), p. 953
^ Arscott (1964), págs. 40-41
^ Gradshteyn (2007), págs. 763–765
↑ Arscott (1964), p. 86
↑ McLachlan (1947), capítulo XI
^ McLachlan (1947), p. 237; Dingle y Müller (1962); Müller (1962); Dingle y Müller (1964)
^ a b c Dingle y Müller (1962)
↑ a b Müller-Kirsten (2012)
^ Bibby y Peterson (2013); Barakat (1963); Sebak y Shafai (1991); Kretzschmar (1970)
^ Solon et al (2015)
↑ ver Willatzen y Voon (2011), págs. 61–65.
^ McLachlan (1947), págs. 294-297.
↑ a b Meixner y Schäfke (1954), págs. 324–343
^ Ruby (1996)
^ Marzo (1997)
↑ Müller-Kirsten (2006)
Referencias
Arscott, Felix (1964). Ecuaciones diferenciales periódicas: una introducción a Mathieu, Lamé y funciones afines . Pergamon Press. ISBN 9781483164885.
Barakat, R. (1963), "Difracción de ondas planas por un cilindro elíptico", The Journal of the Acoustical Society of America , 35 (12): 1990-1996, Bibcode : 1963ASAJ ... 35.1990B , doi : 10.1121 / 1.1918878
Bibby, Malcolm M .; Peterson, Andrew F. (2014). Cálculo preciso de funciones de Mathieu . Morgan y Claypool. doi : 10.2200 / S00526ED1V01Y201307CEM032 . ISBN 9781627050852.
Chaos-Cador, L .; Ley-Koo, E. (2002), "Funciones de Mathieu revisitadas: evaluación de matrices y funciones generadoras" , Revista mexicana de física , 48 (1): 67–75
Dingle, Robert B .; Müller, Harald JW (1964). "La forma de los coeficientes de los términos tardíos en expansiones asintóticas de los números característicos de Mathieu y funciones de onda esferoidal". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 216 : 123-133. ISSN 0075-4102 .
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; et al. (Febrero de 2007). Jeffrey, Alan; Zwillinger, Daniel (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (7 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-373637-6. Señor 2360010 .
Gutiérrez-Vega, Julio C. (2015), "Funciones de Mathieu", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, págs. 159–160
Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi, eds. (1980) [1977]. Diccionario Enciclopédico de Matemáticas, Volumen I . Traducido de la 2ª edición japonesa, versión de bolsillo de la edición de 1977 (1ª ed.). Prensa del MIT . ISBN 978-0-262-59010-5. Señor 0591028 .
Jin, JM; Zhang, Shan Jjie (1996). Cálculo de funciones especiales . Nueva York: Wiley. ISBN 9780471119630.
Kretzschmar, JG (1970), "Propagación de ondas en guías de ondas elípticas de conducción hueca", IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K , doi : 10.1109 / TMTT. 1970.1127288
Malits, Pinchas (2010), "Relaciones entre funciones de Mathieu de primer y segundo tipo", Transformaciones integrales y funciones especiales , 21 (6): 423–436, doi : 10.1080 / 10652460903360499
March, Raymond E. (abril de 1997). "Una introducción a la espectrometría de masas de trampa de iones cuadrupolo". Revista de espectrometría de masas . 32 (4): 351–369. Código Bibliográfico : 1997JMSp ... 32..351M . doi : 10.1002 / (SICI) 1096-9888 (199704) 32: 4 <351 :: AID-JMS512> 3.0.CO; 2-Y .
Mathieu, E. (1868), "Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de forme Elliptique" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées : 137-203
McLachlan, NW (1951). Teoría y aplicación de funciones de Mathieu . Prensa de la Universidad de Oxford. Nota: Reimpreso litográficamente en Gran Bretaña en University Press, Oxford, 1951 a partir de hojas corregidas de la primera edición (1947).
Meixner, Josef; Schäfke, Friedrich Wilhelm (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (en alemán). Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-662-00941-3 . ISBN 978-3-540-01806-3.
Morse, Philip McCord; Feshbach, Herman (1 de enero de 1953). Métodos de Física Teórica: Pt. 1 (Reimpresión ed.). Boston, Mass: McGraw-Hill Inc., Estados Unidos. ISBN 9780070433168.
Müller-Kirsten, Harald JW (2012). Introducción a la Mecánica Cuántica: Ecuación de Schrödinger y Ruta Integral (2ª ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4397--73-5.
Dingle, RB; Müller, HJW (1962). "Expansiones asintóticas de funciones de Mathieu y sus números característicos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 11–32. doi : 10.1515 / crll.1962.211.11 . ISSN 0075-4102 .
Müller, HJW (1962). "Sobre expansiones asintóticas de funciones de Mathieu". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 179–190. doi : 10.1515 / crll.1962.211.179 . ISSN 0075-4102 .
Sebak, A .; Shafai, L. (1991), "Soluciones generalizadas para la dispersión electromagnética por estructuras elípticas", Computer Physics Communications , 68 (1-3): 315-330, Bibcode : 1991CoPhC..68..315S , doi : 10.1016 / 0010- 4655 (91) 90206-Z
Solon, AP; Cates, YO; Tailleur, J. (2015), "Partículas brownianas activas y partículas que corren y caen: un estudio comparativo", The European Physical Journal Special Topics , 224 (7): 1231-1262, arXiv : 1504.07391 , Bibcode : 2015EPJST.224.1231 S , doi : 10.1140 / epjst / e2015-02457-0
Temme, Nico M. (2015), "Funciones especiales", en Nicholas J. Higham; et al. (eds.), The Princeton Companion to Applied Mathematics , Princeton University Press, pág. 234
Van Buren, Arnie L .; Boisvert, Jeffrey E. (2007). "Cálculo preciso de las funciones de Mathieu modificadas de orden entero" . Trimestral de Matemática Aplicada . 65 (1): 1–23. doi : 10.1090 / S0033-569X-07-01039-5 . ISSN 0033-569X .
Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Problemas de valores de frontera separables en física . Wiley-VCH. doi : 10.1002 / 9783527634927 . ISBN 978-3-527-41020-0. (acceso en línea gratuito al apéndice sobre funciones de Mathieu)
Cobarde, Jet (1984). Cálculo con relaciones de recurrencia . Pitman Publishing. págs. 83–84. ISBN 0-273-08508-5.
Wolf, G. (2010), "Funciones de Mathieu y ecuación de Hill" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Función de Mathieu" . MathWorld .
Lista de ecuaciones e identidades para las funciones de Mathieu functions.wolfram.com
"Funciones de Mathieu" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Timothy Jones, Las ecuaciones de Mathieu y la trampa ideal de rf-Paul (2006)
Ecuación de Mathieu , EqWorld
Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: funciones de Mathieu y ecuación de Hill