Los símbolos 6- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1940 y publicados en 1965. Se definen como una suma sobre los productos de cuatro símbolos 3-j de Wigner ,
La suma es sobre los seis m i permitidos por las reglas de selección de los símbolos 3- j .
Están estrechamente relacionados con los coeficientes W de Racah , que se utilizan para volver a acoplar 3 momentos angulares, aunque los símbolos de Wigner 6- j tienen una simetría más alta y, por lo tanto, proporcionan un medio más eficiente de almacenar los coeficientes de reacoplamiento. [1] Su relación viene dada por:
Relaciones de simetría
El símbolo 6- j es invariante bajo cualquier permutación de las columnas:
El símbolo 6- j también es invariante si los argumentos superior e inferior se intercambian en dos columnas cualesquiera:
Estas ecuaciones reflejan las 24 operaciones de simetría del grupo de automorfismo que dejan invariante el gráfico tetraédrico de Yutsis asociado con 6 aristas: operaciones de espejo que intercambian dos vértices y un intercambio de un par de aristas adyacentes.
El símbolo 6- j
es cero a menos que j 1 , j 2 y j 3 satisfagan las condiciones del triángulo, es decir,
En combinación con la relación de simetría para intercambiar argumentos superiores e inferiores, esto muestra que las condiciones del triángulo también deben satisfacerse para las tríadas ( j 1 , j 5 , j 6 ), ( j 4 , j 2 , j 6 ) y ( j 4 , j 5 , j 3 ). Además, la suma de cada uno de los elementos de una tríada debe ser un número entero. Por lo tanto, los miembros de cada tríada son todos enteros o contienen un entero y dos medios enteros.
Caso especial
Cuando j 6 = 0 la expresión para el símbolo 6- j es:
El delta triangular { j 1 j 2 j 3 } es igual a 1 cuando la tríada ( j 1 , j 2 , j 3 ) satisface las condiciones del triángulo y cero en caso contrario. Las relaciones de simetría se pueden usar para encontrar la expresión cuando otra j es igual a cero.
Relación de ortogonalidad
Los símbolos 6- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:
Asintóticos
Ponzano y Regge [2] conjeturaron por primera vez una fórmula notable para el comportamiento asintótico del símbolo 6- j, y luego la demostraron Roberts. [3] La fórmula asintótica se aplica cuando los seis números cuánticos j 1 , ..., j 6 se toman como grandes y asocian al símbolo 6- j la geometría de un tetraedro. Si el símbolo 6- j está determinado por los números cuánticos j 1 , ..., j 6, el tetraedro asociado tiene longitudes de borde J i = j i +1/2 (i = 1, ..., 6) y la asintótica la fórmula está dada por,
La notación es la siguiente: Cada θ i es el ángulo diedro externo alrededor del borde J i del tetraedro asociado y el factor de amplitud se expresa en términos del volumen, V , de este tetraedro.
Interpretación matemática
En la teoría de la representación , los símbolos 6- j son coeficientes de matriz del isomorfismo del asociador en una categoría tensorial . [4] Por ejemplo, si se nos dan tres representaciones V i , V j , V k de un grupo (o grupo cuántico ), una tiene un isomorfismo natural
de representaciones de producto tensorial, inducidas por la coasociatividad de la bialgebra correspondiente . Uno de los axiomas que definen una categoría monoidal es que los asociadores satisfacen una identidad de pentágono, que es equivalente a la identidad de Biedenharn-Elliot para los símbolos 6- j .
Cuando una categoría monoidal es semisimple, podemos restringir nuestra atención a objetos irreducibles y definir espacios de multiplicidad.
de modo que los productos tensoriales se descomponen como:
donde la suma cubre todas las clases de isomorfismos de objetos irreductibles. Luego:
El isomorfismo de asociatividad induce un isomorfismo de espacio vectorial
y los símbolos 6j se definen como mapas de componentes:
Cuando los espacios de multiplicidad tienen elementos de base canónicos y dimensión como máximo uno (como en el caso de SU (2) en el entorno tradicional), estos mapas de componentes se pueden interpretar como números, y los símbolos 6- j se convierten en coeficientes matriciales ordinarios.
En términos abstractos, los símbolos 6- j son precisamente la información que se pierde al pasar de una categoría monoidal semisimple a su anillo de Grothendieck , ya que se puede reconstruir una estructura monoidal utilizando el asociador. Para el caso de representaciones de un grupo finito, es bien sabido que la tabla de caracteres por sí sola (que determina la categoría abeliana subyacente y la estructura del anillo de Grothendieck) no determina un grupo hasta el isomorfismo, mientras que la estructura de categoría monoidal simétrica sí lo hace, por la dualidad Tannaka-Kerin . En particular, los dos grupos no belianos de orden 8 tienen categorías de representaciones abelianas equivalentes y anillos de Grothdendieck isomórficos, pero los símbolos 6- j de sus categorías de representación son distintos, lo que significa que sus categorías de representación no son equivalentes como categorías monoidales. Así, los símbolos 6- j dan un nivel intermedio de información, que de hecho determina de forma única los grupos en muchos casos, como cuando el grupo es de orden impar o simple. [5]
Ver también
Notas
- ^ Rasch, J .; Yu, ACH (2003). "Esquema de almacenamiento eficiente para coeficientes de Wigner 3j, 6j y Gaunt precalculados". SIAM J. Sci. Computación . 25 (4): 1416-1428. doi : 10.1137 / s1064827503422932 .
- ^ Ponzano G y Regge T (1968). "Límite semiclásico de coeficientes Racah". en espectroscopia y métodos teóricos de grupo en física: Amsterdam: 1-58. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Roberts J (1999). "Clásicos símbolos 6j y el tetraedro". Geometría y Topología . 3 : 21–66. arXiv : matemáticas-ph / 9812013 . doi : 10.2140 / gt.1999.3.21 . S2CID 9678271 .
- ^ Etingof, P .; Gelaki S .; Nikshych D .; Ostrik V. (2009). Categorías de tensores (PDF) .
- ^ Etingof, P .; Gelaki S. (2000). "Grupos isocategóricos". arXiv : matemáticas / 0007196 .
Referencias
- Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965). Teoría cuántica del momento angular: una colección de reimpresiones y artículos originales . Nueva York: Academic Press . ISBN 0-12-096056-7.
- Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
- Condon, Edward U .; Shortley, GH (1970). "Capítulo 3" . La teoría de los espectros atómicos . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4.
- Maximon, Leonard C. (2010), "3j, 6j, 9j Symbols" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Mesías, Albert (1981). Mecánica cuántica (Volumen II) (12ª ed.). Nueva York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.
- Brink, DM; Satchler, GR (1993). "Capítulo 2" . Momento angular (3ª ed.). Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
- Zare, Richard N. (1988). "Capitulo 2". Momento angular . Nueva York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
- Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.
enlaces externos
- Regge, T. (1959). "Propiedades de simetría de los coeficientes de Racah". Nuovo Cimento . 11 (1): 116-117. Código Bibliográfico : 1959NCim ... 11..116R . doi : 10.1007 / BF02724914 . S2CID 121333785 .
- Stone, Anthony. "Calculadora de coeficientes de Wigner" . (Da la respuesta exacta)
- Simons, Frederik J. "Archivo de software Matlab, el código SIXJ.M" .
- Volya, A. "Clebsch-Gordan, calculadora web de coeficientes 3-j y 6-j" . Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2012.
- Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann. "Calculadora de símbolos 369j" .
- Biblioteca científica GNU . "Coeficientes de acoplamiento" .
- Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" . (exacto; C, fortran, python)
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